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５芒星と６芒星からなるバッキーボールによく似た変形２重20-12面体

■１■#020で、正５角形12面と正６角形20面から作るバッキーボールと共に、５芒星12個と６芒星20個からほぼ１／φサイズのバッキーボールを紹介した。５芒星と６芒星を準備しておけば、あとは編み込むように作って行けばそれだけで自立する。またこれは実際のサッカーボールに非常に近いサイズになる。

■２■ただし５芒星と６芒星を全て綿棒１単位で作る場合、５芒星の頂点を繋ぐと正５角形に収まるが、この６芒星の頂点を繋いでも正６角形にはならず、隣り合う辺長比が１：0.866760399と僅かに縦長の６角形になる。正確にはこの立体は｢変形２重20-12面体｣(Snub disicosidodecahedron)という立体である。

■３■もしくは５芒星の頂点を繋いでできる正５角形の１辺は0.618033989…であり、６芒星の頂点を繋いでできる正６角形の１辺は0.577350269…なので、この僅か４％程の誤差を綿棒の接合部分で吸収させ、さらに６芒星自身を僅かに変形することによって、ほぼ１／φサイズのバッキーボールを作るができる。

■４■ところで１辺１単位で作る３重のバッキーボールは、#18や#19で見たように第２層と第３層だけで作ることもできるのだが、この５芒星と６芒星で作ったバッキーボールをその中空の部分に入れると、すっぽり収まることが分かった。この第２層である１辺１単位の20-12面体ほんの少しだけ小さいようだ。

星の間(芒星12面体・正12面体・20-12面体)と､５芒星と６芒星からの20-12面体

■５■zone-26の#49で見たように、５芒星12個から頂点の接続の仕方によって12面体と20-12面体を作ることができたが、同様に５芒星12個と６芒星20個から頂点の接続の仕方によってバッキーボールと、切頂大12面体(Truncated great dodecahedron)を僅かに変形することにより１辺１単位の20-12面体ができる。

■６■切頂大12面体とは、星型正多面体の１つである大12面体の頂点を切り落とした形だ。この頂点を更に切り落として行くと12-12面体という立体になるが、そこまでの変形の間に、５芒星同士の間に１辺がほぼ同じの６芒星が入るところがある。５芒星の１辺より僅かに短いので#039で見た頭出しで合わせる。

画像はwikipediaより借用・加工

■７■この立体は頂点を結んだ面で見るならば、正３角形60面、正５角形12面、正６角形20面からなる92面体だが、それぞれの１辺の長さは異なっている。しかし20面ある６芒星の内の正３角形60個を着色することで、20-12面体が重なっていることが分かる。すなわち５芒星と６芒星からなる20-12面体なのだ。

20240202 Friday