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５芒星12面体(５色)と５芒星20-12面体(10色)

■１■正12面体と５芒星12面体(星の籠)では、その形の上に見えるものが大いに異なることを見てきた。綿棒多面体では５芒星12面体と同数の60本を用いて５芒星20-12面体を作ることもできる。それではその形自体の特徴と共に、それを色分けすることで様々に見えてくる形の在りようを見ていくことにしよう。

■２■まず20-12面体はアルキメデス立体(準正多面体)の１つだ。直交３軸系の正６面体と正８面体の相貫体から、その３角錐と４角錐を取り払った重畳部分がベクトル平衡体(立方８面体)だったのと同様、５重回転対称性系の正12面体と正20面体の相貫体から、その３角錐と５角錐を取り払った重畳部分である。

６つの正10角形からなる20-12面体と、５芒星で表した20-12面体

■３■通常の１辺１単位の20-12面体は、６つの正10角形が絡まり合ってできている多面体だとも言えるが、これに対し５芒星20-12面体は10個の正６角形、あるいは12個の正５角形から出来ているとも表現できる。どちらで捉えても60本(＝10×６＝12×５)からなる構造体であり、ここにも５と６の問題が顔を出す。

12個の正５角形(左)と10個の正６角形(右)で表された５芒星20-12面体

■４■面数32、辺数60、頂点30で双対立体は菱形30面体。20-12面体の可視的な60本の辺はなくなり、５芒星20-12面体での60本になっている。５芒星で正12面体を作る時は、５芒星同士の連結部分は全て頂点２つずつだったのに対し、５芒星で正20-12面体を作る時は、連結部分の頂点は必ず全て１つずつである。

■５■また１辺１単位でできる20-12面体は、綿棒で作る３重のバッキーボールの第２層だったが、５芒星から作る20-12面体は、５芒星と６芒星から作る１辺が１／φ≒0.618…(ただし６芒星との接続で僅かに歪む)サイズのバッキーボールを作る際の第２層になる。このバッキーボールは後のページで見ていこう。

20231215 Monday