#050 ピュタゴラス音階と３:４:５

■１■#016で見たピュタゴラス音階及びその後の西洋音階を、#042と#043では螺旋構造上にプロットした音階を平面投影して、閉じた円環の上にオクターブ構造の12半音を見た。純正律では平均律のように均等な角度と間隔にはならないが、概念として時計の文字盤のように30度ずつの12点に重ね見てみよう。

■２■円周上に30度間隔で円周を12等分する点がある場合、それらの内から３点を選んで周長を３:４:５に分割する３角形を考えると全部で60個ある。それらは全てピタゴラスの定理を内包するような直角３角形ではないし辺長比も３:４:５ではないが、それでもこの円の周長すなわち弦長を３:４:５に分割する。

　　　　　　　　　　　　　　　　表１：月のフレームに重ねた音階上の振動数比

■３■この右回りに音高が高くなるが、逆回転させれば音高は低くなる円周は、概念上オクターブ上下方向に螺旋状に連なり閉じていない。５つのプラトン立体の面の角数は全て正３,４,５角数であり、かつ１点に集まる線数も全て３,４,５本だったように、この３,４,５の振動数が綺麗に協和するか見てみよう。

■４■小学生の最初の頃に、音楽教育として和音の｢ド･ミ･ソ｣(Ｃ･Ｅ･Ｇ)、｢ド･ファ･ラ｣(Ｃ･Ｅ･Ａ)、｢シ･レ･ソ｣(Ｂ･Ｄ･Ｇ)という組み合わせを学ばされた記憶がある。実はそれらの振動数が３:４:５であることを、４オクターブと３音の振動数比を入れた上表と、それに対応させた下図を見合わせて確認しよう。

■５■まず上表で枠を青く塗ってある第２オクターブの<Ｇ>、第３オクターブの<Ｃ>と<Ｅ>だが、これがこれがド･ミ･ソだ。順番はソ･ド･ミだが協和音関係は変わらずそのまま３:４:５になっている。これに対応するのが上図左の12等分割円の中に青で示した、３頂点が周長を３:４:５に分割した３角形である。

■６■また表１の第１オクターブで枠を赤く塗ってある<Ｃ><Ｇ><Ａ>だが、これはそのまま｢ド･ファ･ラ｣であり、上図真ん中で赤く示した３角形に対応している。さらに表１の第４オクターブの緑枠で示した<Ｄ><Ｇ><Ｂ>は｢レ･ファ･ラ｣で振動数比もまた(９:12:15＝)３:４:５で、上図右の緑の３角形に対応する。

■７■もちろんこの上下オクターブでも協和音の関係は変わらない。この円周を３:４:５に分割する３角形は逆向きも含めて全部で60パターンがある。平均律ではそれら全てが協和するが、12音の間が均等でない純正律では綺麗に響かないものもある。数と形と音のピュタゴラスが絡む３:４:５話の１つである。

rewitten on 20240307 Thursday