「螺旋プロジェクト」 より借用・加工
■１■ピュタゴラス音律は１と２と３からできている。人工的に処理した純音以外は、微弱ではあるがその整数倍の周波数の振動も生起している。固定された両端の間に結節点がない１本の開放弦の振動が基本波形だ。結節点が１つだと倍音､２つだと３倍音である。以下同様。４倍音は２オクターヴ上音となる。
■２■弦長の１／２の位置を固定して振動させると、倍音が基本振動音になる。さらにこの基本振動弦の左１／３の位置で固定してみる。すると弦の振動数は左右で２：１になる。これもオクターヴの関係なので、左右を同時に鳴らしても１つの音に聞こえる。では最初の開放弦の音と比べるとどうなるだろう。
■３■左側は３倍音であり、右側は３／２倍音となるが、私たちの聴覚にとっては心地よく響く。これを協和するという。最初の基本音をドとすると、右側の３／２倍音の音高はソとなり、左側の３倍音はオクターヴ上のソの音の関係になる。音楽的に表現すると５度上音と、(５＋７＝)12度上音となっている。
■４■この最初の基本音と倍音の関係や、弦長が１／３と２／３の倍音のようなオクターヴ関係は、私たち聴覚において男女混声の合唱をオクターヴ離れたユニゾンで歌う時のように、音高は違うが本質的に元の音と同じ音として感覚的に認識されている。私たちの音感は等差数列的ではなく等比数列的なのだ。
■５■現代ピアノは各鍵が１つ前の鍵に２の12乗根(1.059463…)をかけた振動数に調律されているので、ピュタゴラス音階とはわずかなズレがあるが基本構造は同じだ。基本音に対してオクターヴ上がるごとに振動数は２､４､８…倍になっている。ピアノの鍵盤の配置は、実は対数目盛りの数直線に等しいのだ。
■６■この対数目盛りの数直線をオクターブ音が真上に来るよう円環螺旋状に変形し、それを真上から平面投影したのが下図だ。この基本音と上下オクターヴ音はみな同じ１点に重なる。次にこの基本音の位置を円と重ね合わせた時計の文字盤の０(＝12)時の方向に据えて、そのほかの音との関係を見てみよう。
■７■まず最初に見た弦長が２／３の音(弦長と振動数は反比例するので振動数は３／２倍の音)の位置を見ていこう。常用対数のlog３／log２は1.584962501となる。360度にこれを掛けると570.05865003度となる。これを時計の１時間分の30度で割ると<19.01955001>で、文字盤を一回りした上の７時の位置になる(※1)。
■８■この基本音に対する５度の音は７時の位置に来るが、ただ振動数が３／２倍の音高だけでなく３、６、12、24…倍及び３／４、３／８、３／16…倍の音もみなこの位置に重なることになる。では次にこの７時の位置を基音とした場合の５度の位置を見よう。するとそれはこの時計円環の２時の位置にくる。
■９■この振動数は一番最初の音の９倍(18、36、72…及び９／２、９／４、９／８…も含む)だ。同じ手順をもう１度繰り返すと９時の位置にくる。この音の５度の音は７時の位置に来るが、ただ振動数が３/２倍の音高だけでなく３、６、12、24…倍及び３／４、３／８、３／16…倍の音もみなこの位置に重なる。
■10■さらにこれを続けると、順次時計の文字盤の４時､11時､６時､１時､８時､３時､10時､５時､12時が定まる。これを最初の12時の位置をＣとして表わすと、以下順に<Ｇ､Ｄ､Ａ､Ｅ､Ｂ､Ｆ#､Ｃ#､Ｇ#､Ｄ#､Ａ#､Ｆ､Ｃ>となる。ピュタゴラス本人は多分ここまでやらなかっただろうが、ピュタゴラス音階の完成である(※2)。
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(※1)音程の単位であるセントで見れば、702（／1200）セントだから、やはりほぼぴったり７時の位置となる。（この誤差0.05865003度または２セントが後に狼音を生むのだが、ここでは言及しない。
(※2)この円環を再びピアノの鍵盤上に戻してくるくる回せば、白鍵と黒鍵の12音にしっかり対応している。
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on 20240301 Friday
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