#040 ｢星の間｣上の回転対称軸群

■１■#024で見た｢星の巣｣(５芒星４面体)は４軸４方向を示していたが、この｢星の間｣は15軸30方向を指し示している。また#038では｢星の間｣の３つの層即ち５芒星12面体･正12面体･20-12面体が、42個の５芒星の黄金比で連結しているのを見たが、２重･３重･５重の回転対称軸でもそれぞれがっちり連結している。

■２■｢星の籠｣の20個の正３角形の面心は、正12面体で20個の頂点になり、20-12面体の20個の正３角形の面心と連結している。これは３重回転対称軸で10本ある。同様に｢星の籠｣の12個の５芒星の中心は、正12面体及び20-12面体のそれぞれ12個ある正５角形の面心と連結している。この５重回転対称軸が６本。

■３■さらに｢星の籠｣の30個ある線心は、正12面体の30個の線心と連なり、20-12面体の30個の頂点と連結している。これは２重回転対称軸で30方向で15本ある。｢星の巣｣･正12面体･20-12面体の３層は、重心から垂直に伸びるこれら31本の回転対称軸に貫かれて、互いが空間の位相を合わせがっちり連結している。

■４■なお#036で見たとおり、｢星の籠｣は５つの正６面体の自己相貫体としても見て取れた。正６面体の面心-面心の回転対称軸は３軸６方向だから、そのまま全部で15軸30方向を指し示している。この５つの正６面体の面心を貫く30本の軸を外に伸ばすと、20-12面体の30個の頂点とも直結していることが分かる。

■５■５重回転対称性あるいは５芒星のかたまりとも表現できる｢星の間｣には、３次元空間を固定する直角や直交３軸はないと思われがちだ。しかし改めて５芒星12面体を中心に据えた｢星の間｣的な視座で全体を見れば、５重に相貫し合う直交３軸だらけだと分かり、逆の視点で３軸直交の系も見直せるはずだ。

re-edited on 20231219 Tuesday