cott-036

■１■#035では｢星の籠｣(５芒星12面体)の上に見て取れる正方形に、４角錐を30個乗せた形を見た。ここでは結果としては同じ形になるのだが、少し違った発想でのアプローチをしてみよう。単色だとしっかり目で追って確認しないと分からないが、５芒星12面体は正６面体が５重に自己相貫した立体でもある。

■２■上図はそれがよくわかるように、５つの正６面体を５色に塗り分けた｢星の籠｣だ。正６面体にはその名の通りに正方形が６面あるので、正６面体の全面に正４角錐を６つ立てることができる。結果としてそれは正６面体のダ・ヴィンチの星になる。他の４つの正６面体も同様にしてダ・ヴィンチの星になる。

■３■つまり５重自己相貫体の正６面体を、５重自己相貫体のダ・ヴィンチの星にすればよいのだ。最も分かり易い作り方としては、５色に塗り分けた正６面体ごとに同色の綿棒をそれぞれ24本使って、各色のダ・ヴィンチの星を５セットにすればよいのだ。それが分かれば単色でも正６面体ごとに製作できる。

■４■５色の正６面体の５重自己相貫体を見れば、どの頂点も２色が３本ずつ集まっている。つまり全ての頂点は２つの正６面体が集まっているので、４角錐もまたここから２色３本が立ち上がる。#027で見た｢時の星籠｣の頂点は２種類あるが、６本の結節点がここであり、４本の結節点は４角錐の頂点である。

■５■｢星の籠｣には頂点が20個あり、その頂点はみな１辺１の正３角形に囲まれている。その正３角形に綿棒を３本ずつ加えて20個の正４面体を立ててみよう。それら正４面体の線は黄金比で交差し、互いに支え合いながら５芒星12面体の30本の稜線(物質としての線はない)に対し垂直方向に立ち上がっていく。

■６■この立ち上がった正４面体の20個の頂点を、綿棒で繋いでみよう。するとそこには１辺１の正12面体できることが分かる。使用本数は全部で30本。５芒星12面体と正12面体という２種類の12面体の形を、20個の正４面体ががっしりと連結している。この２つの12面体の辺長比は１／φ：１＝１：φである。

■７■２つの12面体の稜線の間を良く見てみよう。２つの別々な正４面体の２本の稜線が互いに１：φの位置で交差して、辺長比が１：φの２つの12面体の稜線を繋ぐ面上で、重心から垂直方向に台形面として立ち上がっている。黄金比での強固な連結の仕方に注目すると、元の正４面体の存在を見失いがちだ。

re-edited on 20231217 Monday