#037 ｢星の籠｣と正12面体を繋ぐ

■１■｢星の籠｣(５芒星12面体)と１辺１の正12面体。大きさの異なる２つの正12面体を接続させるにはどうしたらいいのだろう。まず１面同士で考えてみる。５芒星と正５角形を平面に置き、５つの頂点同士繋げてみる。押し潰した平面から、回転させてほぼ垂直に立ち上がるまでのどこかに正解があるはずだ。

■２■面と面との接続の最適解は、｢星の籠｣と正12面体の垂直方向の高さでも見て取れる。１／φ：１(＝１：φ)の辺同士を繋ぐには、綿棒２本を用いて２つの辺の両端点を１：φの位置でＸの字に交差させればよい。そして辺同士でなく面同士でも、各辺同士をこの比でＸの字に交差させればよいのである。

■３■｢星の籠｣には頂点が20個あり、その頂点はみな１辺１の正３角形に囲まれている。その正３角形に綿棒を３本ずつ加えて20個の正４面体を立ててみよう。それら正４面体の線は黄金比で交差し、互いに支え合いながら５芒星12面体の30本の稜線(物質としての線はない)に対し垂直方向に立ち上がっていく。

■４■この立ち上がった正４面体の20個の頂点を、綿棒で繋いでみよう。するとそこには１辺１の正12面体できることが分かる。使用本数は全部で30本。５芒星12面体と正12面体という２種類の12面体の形を、20個の正４面体ががっしりと連結している。この２つの12面体の辺長比は１／φ：１＝１：φである。

■５■２つの12面体の稜線の間を良く見てみよう。２つの別々な正４面体の２本の稜線が互いに１：φの位置で交差して、辺長比が１：φの２つの12面体の稜線を繋ぐ面上で、重心から垂直方向に台形面として立ち上がっている。黄金比での強固な連結の仕方に注目すると、元の正４面体の存在を見失いがちだ。

re-edited on 20231217 Monday