cott-024

■１■綿棒の数と形の関係を見てみよう。１本,２本,３本…。３本で初めて平面の正３角形ができる。４本で対角線のある４角形ができる。５本で５角形ができ、その対角線を結んで初めての多芒星である５芒星ができる。６本で６角形と６芒星ができるが、ここで初めて最初の多面体である正４面体ができる。

■２■正４面体の中心角は109.5度、正５角形の内角は108度なので、正４面体の重心から６本の稜線に重ねて５芒星を６つ入れ込むことは、僅かに歪むが可能である。この２次元の５芒星と３次元の正４面体を重ねてできるカタチを｢星の巣｣と名付けた。正４面体の重心を介して対の５芒星は90度捻れている。

■３■この｢星の巣｣はそれぞれ１つの頂点を重ねた６つの５芒星を、僅かな歪みを許して繋げば、結果として正４面体ができると表現しても良い。５芒星の線のそれぞれ１本だけを着色するとその関係が見て取れる。この形は５芒星正12面体の各頂点周りや、５芒星正12面体を４つ接続させた中心にも見られる。

■４■５芒星を構成する線のそれぞれ１本だけを着色してから組み立てると、その関係が見易くなる。なお正４面体の重心を介して対になる稜線は捻れの関係にあるので、３組の５芒星はそれぞれ90度捻れている。この形は５芒星12面体の各頂点周りや、５芒星12面体を４つ結合させた中心部にも見られる。

■５■５芒星が１点に６つ集まり、その周囲に正４面体ができる｢星の巣｣の構造は、５芒星12面体を４つ１点に集めたクラスター構造の中にも見て取れる。また｢星の巣｣の半分だけ、つまり５芒星３つが集まってそれぞれの１本が正３角形を作っている形は、５重回転対称性の綿棒多面体ではあちこちにある。

■６■｢星の巣｣は５芒星12面体のどの頂点部とも重なりうる同一構造である。画像では綿棒が２本重なるのでピッタリではないが、構造のを重なりを１本にまとめれば、そのまま接合することができる。｢星の間｣と呼ばれる５芒星12面体-正12面体-20･12面体の結合体は、どの接合点を取っても｢星の巣｣である。

参考動画 YOUTUBE ■時の幾何学11：正４面体の４つの方向

re-edited on 20231212 Tuesday