■１■この後長い時間をかけて、｢星の種｣と｢星の籠｣から立ち上げる角錐群を繋いで様々な道筋を辿りそれらを整理して行くのだが、その詳細はzone-27の#031〜#038にあるのでここでは簡単にまとめてみた。｢星の種｣と｢星の籠｣には２重､３重､５重の回転対称性があり、角錐群はそれに沿って起ち上げられる。
■２■分かったことは、星の種から外側に立ち上げる角錐の種類は以下の通り。
左から星の種に３角錐(小)×20、３角錐(大)×20、５角錐×12、４角錐×30を乗せた形
20面体の正３角形面から→３角錐×20→ 60本 頂点を結ぶと正12面体
１辺１の正３角形面から→３角錐×20→ 60本 頂点を結ぶと５芒星12面体
５角錐の正５芒星面から→５角錐×12→ 60本 頂点を結ぶと正20面体
黄金矩形の表裏２面から→４角錐×30→
120本 頂点を結ぶと20-12面体
(zone-26の#31参照)
■３■さらに同じところから逆の内向きに入れ込める角錐の種類は以下の通り。
20面体の正３角形面から→３角錐×20→ 60本 頂点を結ぶと正12面体
１辺１の正３角形面から→３角錐×20→ 60本 頂点を結ぶと20-12面体
５角錐の正５芒星面から→５角錐×12→ 不可能
黄金矩形の表裏２面から→４角錐×30→ 不可能 (zone-26の#32参照)
■４■星の種から正３角錐20個を立ち上げてその頂点を結ぶと５芒星12面体(星の籠)になった。この<星の種(30本)＋接合部分(60本)＋星の籠(60本)>の複合立体を構成する150本の綿棒は全て黄金比で交差している。星の籠にも２重、３重、５重の回転対称性があり、その軸に沿ってさらに角錐群を起ち上げられる。
■５■改めて見てみよう。星の籠から外側に立ち上げる角錐の種類は以下の通り。
左から星の籠に３角錐×20個、４角錐×30個、５角錐×12個を乗せた形
１辺１の正３角形面から→３角錐×20個→ 60本 頂点を結ぶと正12面体
１辺１の正方形面から →４角錐×30個→
120本 頂点を結ぶと20-12面体
１辺1/φの５角形面から→５角錐×12個→ 60本 頂点を結ぶと正20面体
(zone-26の#35参照)
■６■そしてこれらの組み合わせにより様々なバリエーションが編まれる。理論的には全部乗せも可能なのだが、現実的にははすさまじい本数になために綿棒の太さの重なりから不可能だ。それぞれ２重･３重･５重の回転対称軸を介して、頂点を繋いでできる綿棒多面体は正12面体、正12面体、20-12面体になる。
20240123
Thursday
|
