#031 ｢星の種｣に３･４･５角錐を乗せる

■１■ベビー綿棒30本を組み合わせてできる小星形12面体は、綿棒多面体としては｢星の種｣とも呼ばれている。これを中心核にして、そこからさまざまな５重回転対称性の立体(正12面体・正20面体の系)を多重に生成することができるからだ。そこから立ち上げる角錐にもまた、<３-４-５>の法則が働いている。

■２■｢星の種｣には12個の頂点があるが、まず最初にそれらの最短の距離にある３頂点、つまりそこに見て取れる正20面体の面を作る３点を結ぶと、鋭角の３角錐が全部で20個立ち上がる。この新しい綿棒60本から出来た立体は、星の種も含む｢ケプラー・ポアンソ立体｣の１つで大星形12面体という名前がある。

■３■次にこの星の種の頂点にある小さな５角錐を取り囲んでいる、１辺１の５芒星を見出そう。全部で12面ある５芒星または正５角形の頂点から大きな５角錐を立ち上げよう。この５角錐は互いに重なり合いながら全部で12個できる。使用する綿棒はやはり60本で、５角錐の頂点を結んだ形は正20面体になる。

■４■星の種の頂点を結ぶと黄金矩形が全部で15個できる。この黄金面はみな立体の中心位置にあるので、これを底辺として４角錐を作る時、その表側に15個､裏側にも15個､合わせて30個を立ち上げることができる。この立体は｢多面体すず｣と名付けられている。またこの30個の頂点をつなぐと20-12面体になる。

左は正３角錐を20個乗せた形、中は正３角錐と５角錐を乗せた形

■５■さらに星の種の中には１辺１の正３角形が全部で20個見て取れる。これらに単位長１の綿棒を３本ずつ立てて正３角錐(＝正４面体)を立ち上げることができる。あとで見るが、この20個の頂点は正12面体の形になるのだが、その各点からそのまま５芒星12面体を立ち上げることができる位置にある。

左は４角錐30個で120本、右は３角錐20個と５角錐12個で120本

■６■またこの３角錐20個と上で見た５角錐を12個を一つの星の種に重ねて立てることもできる。使用する本数は(３×20＝)60本と(５×12＝)60本で合計が120本になる。これは黄金矩形が底辺の４角錐30個の綿棒数(４×20＝)120本と対になっている。

■７■綿棒多面体に非常に多くみられる<３,４,５>の関係はここにもあり、これらは単なる連続の関係ではない。ここで見た角錐のように３と５は一方向に立ち上がるが、４は表裏両面に立ち上がっていて、結果として同じ120本の線数になっている。３→４→５のみでなく３→５→４の繋がりもそこにはある。

re-edited on 20231215 Friday