#035 ｢星の籠｣に３･４･５角錐を乗せる

■１■１辺が綿棒１本の多面体を沢山考え作ってきたけれど、近年は５重回転対称性の立体に対してはベビー綿棒の５芒星を用いることで、１辺を１／φ(＝0.618…)とスケールダウンすることが多くなった。それにより全体サイズは２／３弱に、体積についても１／４弱とコンパクト化され、より身近になった。

■２■綿棒多面体の正12面体は各面に５角錐しか立てられないが、５芒星12面体には３角錐･４角錐･５角錐を乗せることができる。上図は３重回転対称軸の上に正３角錐を１つだけ立てた形、２重回転対称軸の上に正４角錐を１つだけ立てた形、そして５重回転対称軸の上に正５角錐を１つだけ立てた形である。

■３■それに対して上図はそれぞれ、｢星の籠｣の上に20個ある１辺１の正３角形に３角錐を20個立てた形状、同じく30個ある正方形に４角錐を30個立てた形状、そしてさらに12個ある５角形の全てに５角錐を立てた形状を、３重回転対称軸・２重回転対称軸・５重回転対称軸より見た図である。

■４■20個立てた３角錐の頂点を全てつなぐと正12面体になり、４角錐を30個立てた頂点を全てつなぐと20-12面体になり、正５角錐を12個立てた頂点を全てつなぐと正20面体になる。必要とした綿棒の数は４角錐は120本で、正３角錐と正５角錐の和も120本になる。ここにも<３-４-５>の法則があるのだろうか。

正３角錐と正５角錐の和も120本と４角錐は120本

■５■｢星の種｣も｢星の籠｣も３角形･４角形･５角形の数は20､30､12になっている。そしてどちらも頂点をつなぐと正12面体、20-12面体、正20面体となる。１つの｢星の籠｣にこれらを全部乗せた場合、自身の60本も含めると綿棒総量は合計300本になる。｢星の種｣も同様に自身の30本も含めると、合計270本になる。

■６■つまり｢星の籠｣は｢星の種｣からの３角錐20個分の60本で直接接続しているが、この３角錐､４角錐､５角錐の同じ本数、同じ形、そして頂点を結んでできる正12面体、20-12面体、正20面体という全体のパターンは同じである。では｢星の籠｣はさらに外側にどのように展開して他の多面体と接続するのだろう。

参考動画⇒ YOUTUBE ■089;目で見る形の３･４･５

re-edited on 20231216 Sunday