オオモノヌシの中の１辺１の切頂12面体(左)と、１辺１/φの切頂12面体(右)
■１■切頂12面体の多面体的な要素は点数60、線数90、面数(正10角形12＋正３角形20＝)32だが、これを綿棒の１辺１単位で作るとかなり大きくなる。#056で紹介した１辺１単位のオオモノヌシの中でも、最大のオオモノヌシの直ぐ下にある(上図左の黄色い多面体部分)。これもまた気軽に作るには少し大き過ぎる。
■２■円周上の10点を等距離で繋ぐには、正10角形、１つ飛ばしの10芒星、２つ飛ばしの10芒星、３つ飛ばしの10芒星の４パターンがある。１辺が１で作った、各面が正10角形になる切頂12面体が大き過ぎる。そこで１辺が１／φサイズになるように１つ飛ばしの10芒星で作ったのが、#055で見た切頂12面体だ。
■３■最もコンパクトになるのは３つ飛ばしの10芒星だ。１つ飛ばしの10芒星が正５角形を36度ずらして２つ重ねたように、３つ飛ばしの10芒星のは５芒星を36度ずらして２つ重ねた形になる。だがこれは全ての綿棒１本１本が他の６本と交差する構造なので、物質的な太さのある綿棒で作るのはほぼ不可能だ。
■４■そこでここで作ろうとしているのは、よりコンパクトだが実現可能な２つ飛ばしの10芒星だ。それでも１本に必ず他の４本が交差することと、10本が一筆書きのように一繋がりになって３周してようやく閉じる構造なので、12面分のパーツを作るの時、綿棒を交差する部分同士で微妙に捩じるスキルが必要になる。
■５■各面のパーツを120本で12個作ってから、頂点を２つずつ接合して鉢状に立ち上げ、その２つを繋ぎ合わせるという製作手順は、１つ飛ばしパターンでも２つ飛ばしパターンでも全く同じだ。ただし結果として前者が１辺１／φ(≒0.618)なのに対し、後者は１辺１／φ^2(≒0.382)とよりコンパクトになる。
■６■コンパクトと言えば、#055で紹介したように１つ飛ばしパターンで製作した１／φサイズの切頂12面体は、その各面の２重の正５角形を全体的にずらして行き、ほぼ１つに重ねることで平面化が可能だが、２つ飛ばしパターンの１／φ^2サイズは各面の10本が一繋がりなので全体の平面化は不可能である。
左は５重回転対称軸より、右は３重回転対称軸より見た１辺１/φ^2の切頂12面体
■７■この１／φ^2サイズの切頂12面体を良く見てみよう。それぞれ２重･３重･５重の回転対称性が見て取れるが、さらに１辺が綿棒１単位の正３角形、正５角形、正６角形が肉眼で見えるが、さらに点と線を繋ぐことにより正方形、辺長比１：φの長方形、同１：φ^2の長方形、正10角形など多数が見て取れる。
■８■これはまだ無着色のままの綿棒多面体だが、様々に着色することで同じ立体の上に多くの形状や対称性その他の豊かな構造を見ることができるだろう。また１辺が１／φサイズと１／φ^2サイズを並て見ると、その頂点間の不可視な線を支えている実際の綿棒の接続パターンが、同型であることも分かる。
参考動画⇒ YOUTUBE ■123;１／φ^2サイズの切頂12面体
20231229
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