<022>正４面体とその外接球との体積比
20010504 <022>正４面体とその外接球との体積比
20010504
 メールチェックをしていたら、友人のＢＯＢから質問がきていた。■質問：「球体Ｐとそれに内接する正４面体Ｔの体積比は、自然対数の底ｅに近似するのだろうか？」 私は「正４面体とその外接球との体積比はどれくらいか」と考えて、実際に計算してみることにした。 （１）外接球を共有する正４面体と正６面体の体積比は１：３ （２）正６面体の外接球半径は立体対角線√３の半分だから√３／２ （３）球の体積の公式Ｖ＝（４／３）πr3 以上の素材からこの２立体の外接球体積を求めると （４／３）π・（√３／２）3＝（√３／２）π＝２．７２０６９９０４６… よって正６面体とその外接球との体積比は１：２．７２０６９９０４６…。この値は確かに「自然対数の底ｅ」に近似している。しかし外接球を共有する正４面体と正６面体の体積比は１：３だから、正４面体とその外接球との体積比はこのさらに１／３となる。つまり次の通り。 （√３／２）π×１／３＝√３／６＝０．２８８６７５１３４… したがって正４面体と正６面体と、その双方の外接球の体積比は次のようになる。 １／３：１：（√３／２）π＝１：３：（３√３／２）π＝１：３：８．１６２０９７１３９… ■解答：「正４面体とその外接球との体積比は１：３：（３√３／２）πもしくは１：８．１６２０９７１３９…」 「球体Ｐとそれに内接する正４面体Ｔの体積比はｅ(自然対数の底)の１／３に近似する。」もしくは 「球体Ｐとそれに内接する正６面体Ｔの体積比はｅ(自然対数の底)に近似する。」(※１） なお、この結論の数字「８．１６２０９７１３９…」に関しては、次の節でもう少し詳しく見ていこう。しかしプラトン立体の特に正４面体、正６面体、正８面体に関しては、虚数の１，２，３…、つまり１、√２、√３がとても重要になるようだ。これが√５に続けられたら、５重対称性の正２０面体と正１２面体へとリンクできるかも知れない。 ２次元的にはベサイカ・ピシス上の、そして３次元的には正６面体の上にある１、√２、√３が関与しているのだろう。そして√４（＝２）と√５を用いてこのあたりのペンターブシステムを完了するには、３円交差のベサイカ・ピシス（つまりヌースコンストラクション）もしくは立体黄金矩形（つまり正方形２つがくっついた直方体）がいるようだ。(para015及びpara017参照のこと。）素材はシンプルで簡単なのだけれど…。これはプラトン立体全体を俯瞰する前のオリエンテーリングというところだろうか。(※２） (※１）ちなみに正４面体の内接球・中接球・外接球の半径比は１／３：１／√３：１だ。 |
