poli013

共に緑は正12面体の｢点｣由来、白は｢線｣由来、赤は｢面｣由来の部分

■１■#011で見たように｢斜方立方８面体｣と｢変形立方体｣はよく似ていた。同じようにアルキメデス立体には｢斜方20･12面体｣と｢変形12面体｣という良く似た関係の多面体がある。斜方20･12面体は<面62,辺120,点60>であり、変形12面体は<面92,辺150,点60>だが、これらの関係が分かり易いよう色分けしてある。

■２■既に見たように｢斜方20･12面体｣は正12面体の<点20・線30・面12>がそのまま面の<正３角形20・正方形30・正５角形12>に対応していた。この｢斜方20･12面体｣の正３角形と正５角形の頂点での接続はそのままで、30ある正方形を対角線比が１：√３の菱形に変形し、中央を折る(15.82度)と変形12面体になる。

■３■同じことだが別の表現をすると、斜方20-12面体の12枚ある正５角形を、同時に回転(13.1064度)させてみよう。隣り合う正５角形同士は逆の方向に回転して行く。これもまた対角線比が１：√３の所で止めて、短い方の対角線を15.82度折り曲げることで変形12面体になる。正３角形を同時回転しても良い。

■４■斜方20-12面体から変形12面体への変形の中割り画像を入れてみた。部分拡大したので、１辺１の正方形から１辺１で内角が60度と120度の菱形になり、１辺１の２つの正３角形になるということが見て取れよう。この最初の回転の方向が右旋か左旋かで、右手系と左手系の２種類の変形12面体が存在する。

■５■斜方立方８面体と同様に斜方20-12面体も、正方形と正５角形がそのままでは自立しないので補強が必要だった。しかし変形立方体の正方形の回りが正３角形で安定していたように、変形12面体も正５角形の周囲を正３角形に囲まれるので安定するための補強は不要で、元々の150本だけで作っても自立する。

■６■この１層だけでも自重でわずかに歪むので、正５角形部分から内側に５角錐を入れ込んでみた。形は整ったのだが、この内側の12の頂点が気になった。頂点を結ぶとどうなるのか。正12面体なら内側に５角錐を12個入れ込むと大星形12面体になるが、これは正12面体と対応する斜方20-12面体ですらない。

■７■取りあえず各頂点から綿棒を５本ずつ付けてみた。長さが１単位では中心まで届かないので、近接の綿棒の頂点同士を接続してみた。この凹多面体は星形多面体の内の小星形12面体、しかもzone-26の#053で見た３種類の小星形12面体の最大のもの、つまり１辺がφの２乗の小星形12面体だと考えられる。

20240109 Tuesday