■１■｢星の種｣という呼称は、基本的に１本１単位の綿棒30本を用いて作った小星形12面体のことを指すのだが、もちろん綿棒を用いて他のサイズの小星形12面体を作ることはできる。｢星の籠｣の12ある５芒星のそれぞれに５本の綿棒で５角錐を立てた形も、１辺がφの２乗(＝2.618…)の小星形12面体である。
■３■真横から見ると、この逆向きの３角錐の頂点間はちょうど綿棒１本が入る長さであることが分かる。正20面体の<面心-面心>の回転対称軸は全部で10本あるので、残る９本に対しても同様に大きな３角錘の対を入れ込んでみよう。すると60本の線が２本ずつ重なって、１辺φの小星形12面体になるのが分る。
■４■正20面体を開いて取り外し、綿棒の重なり部分を整えてから正20面体と並べてみよう。正20面体は１辺φの小星形12面体を内接すること、逆に言えば１辺φの小星形12面体の12の頂点を結ぶと、１辺１の正20面体になることがよくわかる。平面の５芒星を立体に立ち上げた形の１つが小星形12面体である。 ■５■そして｢星の籠｣に５角錐を立てた形が、もう１つの小星形12面体だ。この立体の１辺は、２本の綿棒＋５芒星の頂点間の距離だから２＋0.618…、つまりφの２乗であることが分かる。つまり綿棒では１辺が１、φ、φの２乗の３種類の小星形12面体ができるということだ。｢星の種｣の｢星｣はφの星である。
■６■黄金比そのものの内部の要素同士の関係の美しさを｢形｣で垣間見たが、｢数｣でもシンプルに見て取れる。「フュンク・ウレの数列」というものがある。フィボナッチ数列は初項１、第２項１で、以下順次前の２項の和の数列だが、これを初項２、第２項を10として以下順次前の２項を足して行ってみよう。
20231227 Wednesday |
