■１■次に｢星の籠｣の下から２番目の正５角形を見ていこう。｢星の籠｣は上下がリバーシブルなので、｢星の籠｣の内部だけなら上でやった操作をただそのまま上下引っ繰り返した形なのだが、｢星の間｣全体の形から見ると、その形は同じ60本からなる５重回転対称性の異なる形である立体、大星形12面体になる。
■２■さらに星の鉢の一番上の５角形、つまり20-12面体の表面に当たる５角形から内側に５角錐を入れ込んでみよう。その12個の頂点を結ぶと、そこに１辺１の正20面体が現れる。逆に言えばこれは、正20面体の12個の頂点から５角錐を12個逆向きに接続すれば、20-12面体ができるという事でもある。
■３■単体同士では連結しない１辺１の正12面体と正20面体が、｢星の間｣を解することで接続可能だということが分かる。最後に20-12面体の５角形面から外側に５角錐を20個立ち上げてみよう。するとそれは20-12面体の正３角形面と繋がって、そのまま２倍体の正20面体になることが分かる。
■４■#041で｢星の間｣を内部と外部を反転して連結する｢立体のベシカパイシス｣であると表現した。この｢星の間｣の内部及び周辺の頂点間の距離はみな、綿棒単位で１及び１／φになっている。これらの操作は｢立体版ペンローズタイル｣あるいは３次元非周期タイリングのほんの一部を垣間見ているとも言えよう。
■５■そしてさらにその先は、この３層からなる｢星の間｣はミクロ方向とマクロ方向の双方に、いやそれぞれの結節点からの12方向に、５重回転対称性を保ちながら行きつ戻りつしながら連結・展開して行くのだが、それはまた別の機会に見譲るとして｢星の間｣を中心とした連結を辿るのはここまでにしよう。 参考動画⇒ ■時の幾何学13：｢星の間｣を展開させる 20231221 Thursday #043 |
