（８３２）黄金数列とピュタゴラスの定理

　ピュタゴラスの定理は「直角３角形の直角を挟む２辺の２乗の和は対辺の２乗に等しい」というものだった。そしてフィボナッチ数列は連続する２項の和がそれに続く３番目の項に等しい。これからフィボナッチ数列の連続するすべての３項の正の平方根は、ピュタゴラスの定理を満たすので直角３角形の３辺となることが分かる。例えばフイボナッチ数列の第５、６、７項の平方根√５、√８、√１３は下の図左のように直角３角形を作っているが、この３角形ＡＢＣの辺ＢＣとＣＡの辺長さをそのままにして挟角Ｃを直角に変形すれば、左図では√５だった辺ＡＢは右図のように√２１になる。さらに今度は辺ＡＣ（√１３）とＡＢ（√２１）が直角を挟む2辺となるように角Ａを直角に変形すれば、対辺になるＢＣは√３４になる。同様にして順次連続して変形して重ねていくと、フイボナッチ数列の平方根をベースとした直角３角形の渦巻きができていくことが見て取れるだろう。

　なおここでもう一度フイボナッチ数列の平方根に目を戻してその第１２項を見てみよう。第１２項は√１４４つまり１２になっているが、これより前の数はすべてその項数を表す整数より小さい（１という数はそれ自体が例外であるので除く）。またこれより後の数はすべてその項数を表す整数より大きいということが分かるだろう。ここにも１２という数が１つの界面を作っていると表現しているものの表われが見て取れる。またフィボナッチ数列は隣り合う２項同士を乗除することで黄金比φ（＝１．６１８…）もしくはφ’（＝０．６１８…）の近似値が出てきたが、この「フイボナッチ数列の平方根」の数列で同じ操作をすると黄金比の平方根の近似値が出てくる。また１つ飛びの項数同士だと黄金比が、２つ飛びだと黄金比の３／２乗が、３つ飛びだと黄金比の２乗がそれぞれ近似値で顔を見せる。