（８３１）フィボナッチ数列の５-８-１３

「一つがいのウサギは、産まれて二ヶ月後から、毎月一つがいの子供を産むとする。初めの生ま
れたての一つがいがいるとき、一ヶ月後、二ヶ月後、……のウサギのつがいの総数を求めよ。」
―――フィボナッチ「算術の書」

　これは中世イタリアの傑出した数学者フィボナッチ（１１７０〜１２５０）が、自著「算術の書」の中で提起した問題だ。フィボナッチはボナッチ（お人好し）の息子という意味の通り名であり、別名をレオナルド・ピサーノという。彼は商人として計算法を学び、商用も兼ねて各地を旅行し、アラビア数字の知識などを得て、それをヨーロッパに紹介した。この問題の答が、動物の増殖や植物の成長の形態など、自然界の様々なところに見出せるフィボナッチ数列である。この数列の構造は簡単で、初項と第２項を１とし、続く第３項以下はその直前にある２項の和を取って得られる。また初項が１、第２項が３で、続く第３項以下は同様にその前２項の和となっている数列を特別にリュカ数列という。

　植物の花びらは普通、フィボナッチ数列かリュカ数列及びその倍になった数になっている。例えばゆりの花びらは３枚、きんぽうげは５枚、マリーゴールドは１３枚、アスターは２１枚だし、ほとんどのひな菊は３４枚か５５枚か８９枚である。また特異例として３、４、７、１１、１８枚のものもある。フィボナッチ数は葉序、すなわち植物の葉の生え方の順序にも関係が深い。ブナやハシバミなどは１／３回転して次の葉が生えてくるので、＜１／３葉序＞と呼ばれる。カシやアンズは２／５葉序が、ポプラやナシは３／８葉序が、ヤナギやアーモンドでは５／１３葉序が見られる。この数字は一つおきのフィボナッチ数の商だが、実は正の５／８回転と負の３／８回転は全く同じ効果を持っているのである。またこの数列は植物成長のダイナミクスとも関係が深い。互いに相手を貫いている２組の螺旋グループからなり、一方は時計方向に曲がり、もう一方は反時計回りに曲がっている。

　このフィボナッチ数列は黄金比と深い関係がある。この数列の任意の１項をその前項で割ると、その比率は黄金比φ（＝１．６１８…）に近い数値となる。また逆に前項をその項で割るともう一つの黄金比、すなわち小さいほうのφ´（＝０．６１８…）に近い数になる。例えば第１０項＜５５＞を例に取ってみよう。それを第９項＜３４＞で割ると、５５／３４＝１．６１７６４７…となる。また分母分子を逆にすると、３４／５５＝０．６１８１８１８…となる。なおこの任意の項数が大きくなるほど、この値は黄金比に漸近していき、その極限値が黄金比φ＝１．６１８０３３９８８…となるのだ。またリュカ数列の各項の値は、黄金比１．６１８…を、その項数分だけ掛け合わせた数に極似した数になっている。例えばこれも第１０項を例に取れば、１．６１８…の１０乗は１２２．９６６０３５７…で、第１０項１２３に漸近した値になっている。なおこのリュカ数列の下一桁の数字は、１３項で繰り返す周期を持っている。

　黄金比はφ＝（１＋√５）／２及びφ′＝（１−√５）／２として表され、幾何学的には外分比と内分比を等しくする比率である。黄金比はバビロニア人が発見したといわれているが、正５角形を描けば、その１辺と対角線との比率に自然に現れる。またペンタグラムや正１２面体の一つの面などにも現れる。このフィボナッチ数列とリュカ数列の関係において、任意の項数のリュカ数を同じ項数のフィボナッチ数で割ると、２９／１３＝２．２３０…、４７／２１＝２．２３８…、７６／３４＝２．２３５、１２３／５５＝２．２３６…というように、√５＝２．２３６０６７９…の近似値を上下しながら、√５に漸近していくことが分かる。またこの数列の第１０項の５５という数は、１から１０までの整数全てを足した数、すなわち１０の３角数である。つまり１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０＝５５であるということだ。また第１２項の１４４という数は１２の２乗であり、この数列の中で１を除く唯一の平方数である。

　さてこの節の表題である「５−８−１３」はごらんの通りフィボナッチ数列の第５項、第６項、第７項であるが、この数をキーとして様々なものごとを見ていこう。