（８２６）１０×１０のマトリクス

完全な真理の姿――それは正確かつ確実で、時代のどんな影響からも自由な九九の表だ。
(バートランド・ラッセル)

　バートラント・ラッセルがどのようなつもりでこのフレーズを発したのかは別として、人間の１０進法が不変だいうことは、それから逃れられないということもある。しかしながら確かに久しぶりにまじまじと見る九九の表は、縦・横・斜めにさまざまな対称性を有していてやはり美しい。

　１０進法とは１０を底とした数の数え方であり、１０以下の全ての整数、及び１０の累乗数はそれぞれ独自の名称を持っている。またそれらの間にくる他の数の名称は、これらの複合語になっている。しかしなぜ１０進法なのだろう。１０にして数を数えることに、本当に実用的もしくは数学的な理由があったのだろうか。Ｅ．リュカによればこれは人間の解剖学的な問題になる。人間が１０本の指を持っていて、それを使って数えたからだというのだ。確かに２、３、４、６という４つの約数を持つ１２ではなく、２と５という２つだけの約数しかない１０という数を底とすることには、数学的に大した利点はない。

　実際１８世紀には博物学者ビュフォンが、世界的に１２進法を採用するように提唱した。また数学者ラグランジェは、素数を底にすることにより大きな利点があると言う意見を表明した。しかし１０進法は揺らがなかった。実際に１０という底は人間の記憶力にとって、ちょうどよい規模であるという、明らかな利点があったのである。何度も１２を人類の普遍的な底にしようとする運動が浮かび上がっては消えていった。１０を底にした数・１０進法の習慣は深く残っていて、それを変えるのはほぼ不可能に近い状況になっている。人間に等身大なのであろうこの１０進法を、閉じられた数の論理としないためには、１２−６０や１３−２０などの数の論理をも１つとして、地球の数の論理として見る方向への移行が、今必要とされているのではないだろうか。

　ニニンガシ、ニサンガロク…などと小学校で九九を呪文のように記憶させられるおかげで、私たち日本人は他の国々の人より計算が得意だと言われている。この九九にもう一皮つけたような１０×１０までの表を「ボエティウスの表」という。もっともこれは九九の表と使い勝手は変わらない。１０の行（もしくは段）と１〜１０の積はただ１０倍になるだけである。また１２×１２までの「ピュタゴラスの表」というものがある。１２進法的な気がして、ちょっと身構えるかもしれない。しかし１１の行（もしくは段）と１〜１０までの積はただゾロ目になるだけであり、そして１１×１１は１２１である。では１２の行はどうだろう。１２，２４，３６，４８，６０，７２，８４，９６，１０８，１２０，１３２，１４４だが、あまり見慣れないのは１２×７の８４、１２×８の９６、そして１２×１１の１３２くらいではないだろうか。

　さてこの後も１３×１３の表、１４×１４の表などいくらでも想定できるが、いっそのことマヤやケルトの２０進法を念頭に、１９×１９の表を見てみよう。囲碁の碁盤の目と同じ３６１のコマになるが、私たちはすでにＺＯＮＥ−５で２７×２７の７２９マスの魔方陣を見ているので、数だらけの表には圧倒されはしない。このコマ数の３６１は、１０×１０のプロックが中心で交差して重なっている４つのプロックだと考えると、総数は九九の表のわずか４倍に過ぎないことがわかるだろう。わずかというのは語弊があるとしても、３６１にこの４を足せば３６５になる。眺めていて、ふと懐かしい数夜、数のデジャヴをそこに見るかもしれない。２７×２７の魔方陣の中心数は３６５だったが、この１９×１９の魔方陣の中心数は１８１である。この＋１を同じくもう１つの全体と考えると、１８０＋１は３６０とも見て取ることができる。