■１■(1)１つの単位円を描き、(2)その中に直径比１／２の円を２つはめ込むと、(3)その隙間にぴったりはまり込む円の直径は、(4)１／３であることが分かる。(5)この直径比が１／１：１／２：１／３の３種の円の中心を結ぶと、赤色で示したように辺長比が３:４:５のピュタゴラスの直角３角形が描かれる。
■２■(6)なお１／２の円と１／３の円の間の４つの隙間には、さらに直径比１／６の円がぴったりはまり込む。(7)この１／６の円はまた図中の辺長比が３：４：５のピュタゴラスの直角３角形の中にもぴったり内接する。(8)内接する１／６の円の半径と直径は１と２になる。これで１:２:３:４:５が出揃った。
■３■(9)また１／３と１／２の円の半径及び直径から６,８,９が出でくる。(10)さらに１／６の円ぴったり６個収まることからも、最初の大円直径は12であることが分かる。(11)なお順次新しい隙間に収まっていくｎ番目に内接する円の総数ｒは、ｒ＝１／{２＋(ｎ−１)^2}という式で求めることができる。
■４■世界を12で分割したり、12をひとまとまりとして捉えようとする私たちの世界観を、１〜12で１つの円が閉じる、もしくは１つの円を12分割するという構造でトレースする幾何学的モデルである。この円のシンプルな組み合わせに様々な関係を重ね見ることができる図の素型を「サークルゲノム」と呼ぶ。
■５■正６面体の１辺の両端と重心がなす中心角は70.5度であり、各面の対角線の両端と重心がなす角度は109.5度(※)である。この２角は正４面体の２面角と中心角でもあるが、上図右端のようにサークルゲノムの直径の１／３の位置の垂線と大円との接点と中心を結ぶ直線も、平角180度をこの２角に分割する。
■６■この109.5度と70.5度は正４面体の中心角と２面角であり、直角±19.5度である。平面で正８面体と正４面体を接しても同様に平角になる。この重要な角度は三角関数のarccos(−１／３)としても求められるが、そのような計算をせず、かつ分度器も用いずに、コンパスと定規だけでこの作図は可能である。
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(※)より正確には109度28分16.
394…秒である。またこの角度は正８面体の２面角でもある。そして正４面体の２面角のより詳しい値は、70度31分606…秒である。
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on 20240328 Thursday
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