■１■正４面体を｢く｣の字形、正６面体を｢コ｣の字形で接続しても、球面に拡張しないままでは隣り同士の凹凸が全て逆にはならない。エッジも含めた隣り合う面同士が反対方向に振動するようにするもう１つの方法は、各面をさらに分割するということだ。２角が30度と60度の直角３角形に２分するのである。
■２■各面の２分割は上図左から２番目であり、３番目の図は視覚的に分かりやすいよう、同じ振動面の片方だけ透明にしたものだ。右端の図はこの形状を中心から外接球表面に投影したものだが、各面を２分割により正８面体の対称性と同じになっていることが分かる。これを面点変換すれば正６面体になる。
■３■上左の図はこの２分割した正３角形とそれからなる正４面体の展開図だ。真ん中の図は２分した３角形をさらに２分割した形とその展開図である。頂点に集まる線数が４と８で対称性が均等ではない。右の図は２分割をさらに３分割した形とその展開図だが、面の３重回転対称性を回復しているのが分かる。
■４■次に１点に３線が集まる正６面体の各面に対角線が１本入ったパターンを考えてみよう。ここでは正６面体の８つの頂点に上図右のように６本の線を集めることで、隣り合う面同士がみな反対方向に動けることを表わしている。ここでも右端にこの関係が分かりやすいよう、対振動の片方だけを透明にして示してみた。
■５■正方形の板上の砂が作る最もシンプルなクラドニパターンは＋と×だった。＋パターンだけだと立体の各面上で交互塗り分けは不可能だが、＋と×を合わせると各頂点に集まる線が偶数になるので可能になる。右の２図はそれを球面上に投影して見たものと、それをさらに正８面体に退縮させた形である。 rewitten on 20240322 Friday |
■６■正４面体とそこから立ち上がる正６面体・正８面体は、それぞれ中心角・２面角が直角90度及び±19.5度の70.5度と109.5度からなっているのが分かるが、このように立体の表面上のクラドニパーンを想定して分割することで、交換可能な対称性を持つ関係を持つことを、別の視座からも理解が可能である。
