■１■｢ハーモノグラフ｣は19世紀中ごろに登場し1890年代に大流行した、２つもしくは３つの振り子を用いて面に対するペンの動きを制御し、幾何学像を生成する機械的な装置だ。生成される図は普通はリサージュ曲線、もしくはそれに関連するより複雑な図である。発明者はブラックバーン教授だと言われる。
■２■描かれるリサジュー曲線とは、直交する２つの単振動を合成して得られる平面図形のことだ。振動の振幅･振動数･初期位相の違いによって多様な曲線が描かれる。リサジュー曲線は、周波数の測定に用いられることが多く、基準波を横軸に、被測定波を縦軸に入力すると、閉じた周波数比となって現れる。
■３■振動数の比が和音の場合は閉曲線で美しい図形を描くが、比が無理数の場合は閉曲線にはならず、軌道は有限の平行四辺形領域を稠密に埋めていく。現在では減衰する振り子の動きを示す方程式をコンピュータプログラムに適切に組み込めば、モニター上にハーモノグラフ図を再現することが可能である。
■４■基本的にハーモノグラフには直交型と回転型があり、前者は２つ後者は３つの振り子を用いている。回転ハーモノグラフを用いて振幅比を振動数比の逆にすれば尖った多角形に、逆の２乗にすれば太った多角形になる。図は基本の１に対して数値を最初の２,３,４倍にした場合のハーモノグラフ図である。
■５■純正律と平均律の違いは聞き比べることによってその違いが分かるが、ハーモノグラフ的なプログラムによっても視覚的にその差異を見て取ることができる。同一の音階を純正律は明確な対称性を見て取れる。図は２種類の長３度だが、平均律は複雑の中でも全体的な均衡として捉えることができる。
■６■画像はＡ・アシュトン『ハーモノグラフ』より借用、内容も参考にした。なおこのサイト『
Visualize Harmoney
Harmonograph.js 』では、数値入力で自動的にハーモノグラフを描いてくれる。面倒な場合でもランダム指定で自動生成してくれる。惑星の運行などの図形や動画も作ることができるだろう。
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on 20240320 Wednesday
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