#018 テトラクティスとプラトンのラムダ

■１■ピュタゴラス派から中世までの音律は、１,２,３から生じる音程のみだった。即ち１:２と２:３の関係(オクターブと５度)だけで音程を作っていた。プラトンのラムダをさらに先に延ばして行くと、ピユタゴラス音律が現れる。つまり１:１、２:１、３:２、４:３、９：８、27：16、81：64、243：128…。

■２■｢テトラクティス｣は４の３角数の幾何学的表現であり、ピタゴラス教の神秘的なシンボルでもあった。ピラミッド型の４行の合計の10は高次の１でもある。４は地･水･火･風を表わし、また幾何学要素である点･線･面･胞をも表わす。さらに１:１、１:２、２:３、３:４はピタゴラス音律の基本音程である。

■３■｢プラトンのラムダ｣はプラトンの著書『ティマイオス』(※1)に出てくる。ギリシア文字ラムダ(λ)の大文字<Λ>はちょうど３角形をした山頂の形をしており、テトラクティスと同様のピラミッド型の４行の形の中に10の数字が書き込まれている。テトラクティスと同様に１段目が１、２段目は２と３である。

■４■３列目以降を見れば分かるが、左斜め下方には２,４,８…と２倍数列を配し、右斜め下方には３,９,27…と３倍数列を配してある(※2)。ところで実際に図を見てみれば直ぐに分かるが、この２つの「数の正３角形」の中心の数は、「ティトラクティス」が５であり、「プラトンのラムダ」が６である(※3)。

■５■ピュタゴラス音階は弦長の３／２及びその倍音の３／４を繰り返し組み合わせて行きオクターブを構築する。このロジックで作られた全音の２度(例えばドとレ)の振動数比は８：９(＝１：1.125)である(平均律では１：1.23346…)。この比はプラトンのラムダにおいては、３段目右端と４段目左端に現れる。

■６■１：２､２：３､３：４同様に４：５が作る長３度も美しい響きであることは、ピュタゴラスの頃から知られていた。完全５度を４回重ねて(例えばド−ソ−レ−ラ−ミと取り、このミを２オクターブ下げる)得られる長３度の振動数比は64：81となる。つまり純粋な長３度である４：５(＝64:80)にはならない。

■７■このようなずれを隠すために様々なテンペラメント（音程が固定される鍵盤楽器のような楽器を調律する際の方法論）が考案されてきた。なお64：81の比を３と４の問題として、４の３乗：３の４乗と捉え直すこともできよう。64と81はそれぞれプラトンのラムダの７段目左端と５段目右端に見て取れる。

■８■ところで８^2／９^2＝64／81＝0.79012345679012345679012345679012…となるが、<790123456>もしくは<123456790>の９桁の循環小数部があることが分かる。この９桁の循環小数部には１〜９までの数のうち８だけがない。また純粋な長３度である４／５（＝64／80）＝0.8は逆に８だけである(※4)。
　
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(※1)この『ティマイオス』では、宇宙の構造は音楽ということで、ラムダ数をピュタゴラス音律にまで展開している。２と３の累乗からピュタゴラス音階はできている。
(※2)勿論このラムダの数列は上図２のように下方にいくらでも伸ばすことができるが、基本的には４段までで事足りる。
(※3)５と６については言いたいことは沢山ある。５芒星と６芒星。金星と水星。φとπ。５φ^2≒６π。倍にして10進法と12進法。和して11、その倍の限界数22。正５角形12面と正６角形20面からなるバッキーボールもしくはフラーレン。積すれば30で菱形30面体へ…。
(※4)64／81＝0.790123456…から0.001000000001000…もしくは９桁ごとに１億分の１（１／100000000）を引けば、循環小数部は<123456789>となる。

rewitten on 20240219 Monday