054:無限アメキメデス多面体


　

■１■３種類の無限正多面体は３重周期的に無限に広がり、どの頂点周りの稜線と面も同じになっていて、ユークリッド３次元空間を２つのラビリンス領域に等分割することは既に見た。その考え方を準正多面体に拡張すると、無限アルキメデス多面体へと一般化される。取り敢えずいくつかの例を見ていこう。
　
　　　　　　(※)白黒のスポンジ多面体は英語版wikipediaより借用、加工しました。

■２■先ずは切頂８面体と正６面体からなる無限アルキメデス多面体だ。可視化された形は空間を50％占有し、残る空間が相同の形で空間を50％占有している。同じく３軸直交で切頂立方８面体と正８角柱からの構成でも、同様に２つの領域に分割する無限アルキメデス多面体（スポンジ多面体）が形成される。

　

■３■他にもいくつか形を紹介しつつ、詳細は省いてさらに極小曲面へと話を転がしたい。針金の輪に張られた石鹸膜は最小面積となり、平均曲率がゼロの極小曲線になる。シュワルツはＤ曲面とＰ曲面を発見したが、これらのパッチを組み合わせることでも、３次元空間は合同な２つの領域に分割可能となる。

　

■４■複素解析関数とか微分幾何などの難しい話は捨て置き、極小曲面が織りなす３重周期のタイリング方向にも向かわず、ここでは切頂立方８面体と正８角柱からなる無限アルキメデス多面体と、シュワルツのＰ曲面による単位胞の相似に注目しながら、３次元空間を相同に２分割することに気を停めておこう。

　

■５■正４面体のフレームを作り、シャボン玉液に浸けてから引き上げる。すると表面積を最小にしようと表面張力が働き、重心で頂点を合わせる109.5度と２つの35.25度からなる２等辺３角形が６面できる。この６面の２等辺３角形のを針で突いて消していくと、シャボン玉膜は自然に合体して１面の極小曲面となり安定する。１枚の膜が正４面体の内部を等しく２分する形になるのだ。

■６■この形は表面積が最少になっているだけでなく、この面上ではどの点でも全て平均曲率が０になっている。（曲率は直交する２方向の曲率を足し合わせて得られる。）一方向は上向きに、もう一方向は下向きに湾曲して打ち消しあっている。平均曲率が０ということは、面のどちら側でも圧力が等しいということだ。この正４面体は互いに交わらない、同じ体積・同じ形状・同じ圧力の双対な２つの部分に分けられている。

　

■７■これと同様の鞍形の膜を繋ぎ合わせてできる周期的極小曲面に、シュヴアルツのＰ曲面というものがある。この図はＰ曲線からなる３重周期の単位胞だ。正６面体の各面は鏡面になってる。この単位胞を無限に積み上げて行くことができるが、となり合い編みこまれた２つの空間は、同じ体積・同じ形状・同じ圧力の２領域に分割されたままである。

2020.06.14 Sunday