055 曲率が正､±０､負の炭素構造とカタチ

　　　　a）カーボンナノチューブ,b）グラフェン,c）バッキーボール（画像ソースグーグル）　「RESEARCHGATE」より。
　

■１■地球上で最も豊富な元素の１つである炭素。元素は４価で、共有結合で互いに結合する４つの電子を持つ。結合の仕方により、ダイヤモンド、グラファイト、アモルファスカーボン（または石炭）となる。近年研究・製造されているカーボンナノチューブ、バッキーボール、グラフェン等の同素体もある。

「ミクロの世界の立体幾何学」(丸善出版)より借用、加工。 （画像：FelixKnoppel）画像は加工済み。

■２■カーボンナノチューブとバッキーボールは正の曲率を持ち、グラフェンは曲率がゼロ、つまり平面シートだ。では負の曲率構造があるとしたらどんな形なのか？1800年代にその構造を仮定したドイツの科学者ヘルマン・シュワルツにちなんでシュワルツ鉱と呼ばれている。実はそのカタチは既に<054>で見た。シュワルツ鉱として知られている理論的構造。グラファイトシートから構成される３重周期構造。６角形の間に８角形が入って、負のガウス曲率を持つ。 ■３■ユークリッド３次元空間における３重周期の無限正多面体に始まり、無限アルキメデス多面体(スポンジ多面体)を見てきたが、その中で切頂立方８面体と正８角柱からなる形状、あるいはシュワルツのＰ曲面からなる単位胞と同じ構造をしている。相互に組み合いながら空間を２等分割するカタチである。カーボンシュワルツァイトの形状を示す、コンピューターでレンダリングされた、負に湾曲したシャボン玉。

■４■現時点ではまだ研究段階だが、ゼオライト構造をテンプレートとして、炭素原子の自己組織化によってこれらの構造を作成する方法が見出されている。炭素を含む蒸気がゼオライト構造を通過すると、その内壁を覆ってシュワルツ鉱構造を形成する。その後ゼオライトが溶解すると、シュワルツ鉱が残る。
　
左はゼオライト構造。洗濯時に水を柔らかくするミネラル。右は３Ｄプリンターで示した構造。強度はとても強い。

■５■５６７。正５･６･７角形、あるいは編み込みでも良い５･６･７芒星で、互いに接しない２つの空間を作る事ができる。塔と穴、虚と実、あなたと私。数と形。虚数があるのだから、虚形を想定しても良い。空間曲率の正、±０、負という構造を、比率と比喩として目に見える｢形｣で考えても良いのである。

　
　　左はかご編みシュワルツ構造@BridgesMathart 2013。　　右はシュワルツ鉱構造の画像。googleより。

■炭素ファミリーの物語。ダイヤモンド、グラファイト、アモルファスカーボンの長い時代の後、1980年代に化学者を驚かせ、喜ばせたバッキーボール。Ｃ60。1990年代には物理学者を驚かせたカーボンナノチューブ。2000年代にはグラフェンが材料科学者を活気づかせた｡そして現今は負の曲率を持つが多くの人々を魅了している。ナノスケールでの炭素シュワルツ鉱構造とその形状。軽量でありながら圧倒的な耐荷重能力があり、また３Ｄ構造の電極として高性能のコンデンサとなる。

（左）ゼオライトの細孔内部に形成されたシュワルツァイトの３次元ケージ構造。イ・ヨンジンとエフレム・ブラウンによるグラフィック。（右）かご編み構造の双対の曲率部分を示したもの。　@BridgesMathart 2013。

2020.06.16 Tuesday