053 ジョンソンの立体91番について

■１■ジョンソンの立体とは、整凸面多面体（全ての面が正多角形で全ての辺長が等しい凸多面体)のうち、正多面体･半正多面体･アルキメデスの角柱･アルキメデスの反角柱以外のもののことで、全部で92種類ある。今回はその91番目についてだが、名は体を表すと言うが、体を表そうとした名前には不細工だ。

　　　　　　　　
画像はwikipediaより。GIFアニメは「The Bilunabirotunda Pseudo-pyramid」より。

■２■英語名ではBilunabirotundaという。<bi>は「２つ､対の､双の｣の意味であり、<luna>は「月｣だ。そして<rotunda>は円形建築のことだ。まんま直訳した日本語名だと「双三日月双丸塔(そうみかづきそうまるとう)」。やっぱり全然魅力的でないなあ。仕方ないから｢Ｊ91｣と呼ぶ。こっちのほうがまだまし。
　　　　　　　　　
■３■ジョンソンの立体の殆どは、正多面体や準正多面体を切ったり貼ったりする操作によりできるものだが、そのような操作では構成できない立体が８つ含まれており、｢Ｊ91｣はうちのその１つだ。実は５重対称性の多面体は空間充填できず、敢えてするならばわずかに変形する必要があると思い込んでいた。

■４■しかし正12面体は正６面体とこのＪ91を組み合わせることにより空間充填が可能となる。その構成比は１:１:３だ。白銀比系の正６面体と黄金比系の正12面体を合わせて３次元を充填する。このことはもはや世界中で知られていが、発見したのは多面体に詳しい日本人の木工作品制作者の中川宏氏である。

■５■またこのＪ91は４つの４面体、４つの正方形のピラミッド、４つの５角形のピラミッド、およびＪ91の中心の単一の線に先細りする２つの３角形のプリズムから構成されている。これらはまた要素として合計15個の胞、42個の多角形(３角形32個、正方形６個、５角形４個)、43個の辺、16個の頂点を持つ。 　　⇒⇒⇒(動画)ジョンソンの立体91番

■６■Ｊ91を分割してみよう。(１)立体の中心に赤い縦線がある。(２)この線を挟んで３角柱が２つある。(３)そして４つの４角錐。(４)３角柱の両端には４つの４面体が接している。(５)同様に４つの５角形ピラミッドがあり、片側に２つ、そして反対側に残る２つがある。各パーツを合わせるとＪ91になる。
　
■７■この立体を見分けるために、様々な視点からの見え方を知っておいた方が良いので、以下に一般的形状に見える視点を紹介しておきます。(１)20-12面体の頂点を中心にした８角形、(２)正方形中心の菱形、(３)上下端を中心の６角形、(４)一対の５角形を重ねる長方形、(５)もう１つの８角形等の形状だ。
　
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(※)中川宏氏のＨＰ「多面体木工法 Wooden Polyhedra」
(※)内容の一部はＨＰ「Eusebeia」を参考にしました。

2020.06.14 Sunday