052: もう少し無限正多面体について

■１■コクセターが見出した３種類の無限正多面体で、最初に見た無限６面体と双対の関係にあるのが無限８面体だ。アルキメデス立体の切頂８面体による無限空間充填の形から、切頂部分の正方形を除いた多面体で、面が正６角形無限枚、線は無限本、正６角形４枚がジグザグに集まる点が無限個という構成。
　
■２■残る１つは無限４面体で、正４面体同様に自己双対の多面体だ。正４面体と切頂４面体による空間充填形から正３角形を除いた多面体である。構成は正６角形の面が無限枚、辺は無限本、正６角形６枚がジグザグに集まる無限個の頂点からなる。とちらも３次元空間を50％ずつに分離隔絶している。

■３■これらについての説明は省き、定義の元となった空間充填の図と、部分的に切り出した無限正多面体の回転動画を上げるに留めて話を先に進めよう。このコクセターの考え方を拡張すると、アルキメデス立体とその双対から様々な無限アルキメデス多面体が見出され、さらに極小曲面の問題へと発展する。

■４■しかしそちらに行く前に、あくまでも比喩としてこの無限正多面体に関して個人的な妄想の世界観を混入しよう。｢面点変換｣という操作がある。多面体の面を点に、点を面に変換する操作だ。次元数で言えば０-点、１-線、２-面、３-胞、４-超胞…の０⇔２または点⇔面の双方向の変換操作のことだ。

　 　　 　　　　

■５■これに対して１⇔３または線⇔胞の変換操作を｢線胞変換｣と呼ぶことにする。妄想からの出発なので細かい定義はしない。例えば無限６面体を線胞変換すれば、３重周期に対して0.5単位長ずつずれて互いに接しないまま絡み合い貫き合う形の、２つの無限のジャングルジムのような直交３軸の線群になる。

■６■５種類のプラトン立体と異なり、無限６面体同様に対称群が点でなく空間群となる無限８面体も、方向性を保持したまま線胞変換すれば、基本的に同様の２つの無限のジャングルジム的な直交３軸の線群になる。しかし無限４面体の内部で直角でない無限軸方向を見るのを、外部から想像するのは難しい。

(※)改めて無限正多面体(ねじれ正多面体／スポンジ正多面体)の正式呪文名を
無限６面体⇔四角六片四角孔ねじれ正多面体
無限８面体⇔６角４片４角孔ねじれ正多面体
無限４面体⇔６角６片３角孔ねじれ正多面体

(※)動画は「wikiwandねじれ正多面体」より借用しました。

また１枚目と３枚目の画像も海外のwikipediaから借用しました。

2020.06.10 Wednesday