051:正多面体は15個もあるのかよ!?

■１■正多面体というと、プラトン立体とも称される正４面体・正６面体・正８面体・正12面体・正20面体の５種類のことだ。しかしその概念を拡張し、面同士が交差することも許すならば、小星形12面体、大星形12面体、大12面体、大20面体という４つの星形正多面体がエントリーされて全部で９種類になる。

■２■ならばと球体を０に当てはめて10進法と重ねて自得していた。しかし昔は見過ごしていたけれど、さらに無限正多面体というものがあることに改めて気がついた。各頂点が回転(回映のねじれによる面との関係も許すと３種類ある。平面充填も含めるとさらに３種類。何だよ、正多面体って15もあるのかよっ！。

　
　　　　　　　　　　(※)画像は wikipediaより借用、加工。

■３■wikipediaで調べると４角６片４角孔ねじれ正多面体(mucube)､６角４片４角孔ねじれ正多面体(muoctahedron)、そして６角６片３角孔ねじれ正多面体(mutetrahedron)の３種だった。敬愛するコクセターが1926年に発表していた。しかし何だよその不細工な和名は!!恥ずかしながらしばし脳内でブチ切れた。

■４■今なら外面と連続する孔の形状を表した機能的な名前ではあると一応譲歩はするものの、英語名では正６面体、正８面体、正４面体の前に<mu>が付いているだけなのに、和名は無機質で長すぎる。正スポンジという訳名も馴染めない。なので勝手ながら個人的には無限６面体・８面体・４面体と呼びます。
　　
　　　　　　　　　　　　　　　　(※)画像はエッシャーの「立方体の空間分割」より。

■５■取り敢えず３軸直交なので一番分かり易そうな、無限６面体(mucube)について見ていこう。ザックリすぎるwikiの定義では「正６面体による空間充填形から幾つかの正方形を除いた多面体」となる。構成は面が無限枚の正方形、辺は無限長が無限本、正方形６枚がジグザグに集まる頂点も無限個存在する。

■６■３つの無限正多面体は、３次元空間を50％ずつに等分割しているが、無限なので３次元のまま外側に立って中を見渡せない。概念的には部分を切り出して双方の関係を見て取ることはできるが、実際は繋がっていないので、片方の空間からもう片方の空間は分からない。この世界もそうなのかもしれない。

■７■動画はその片方の空間の中に入ってみた時のシミュレーションだ。３つの方向に直交する廊下が無限に続いており、通路の間には直交する３つの方向に並ぶ柱がある。そしてその柱の中にはもう１つの無限の廊下の空間があるのだが、この２つの無限空間は面で区切られていて行き来するができないのだ。

　　　　　
　　　　　(※)動画は Mike on MATLAB Graphicsのブログ"Into the Mucube"より借用。
　　　　　https://blogs.mathworks.com/graphics/2016/02/08/into-the-mucube/

(※)あと残る３つは平面充填体なんだけれど、もはや３次元立体ですらないので取り上げない。正多角形による平面充填形３種
・３角６辺６角孔ねじれ正多面体(3,6|6)
・６角３辺６角孔ねじれ正多面体(6,3|6)
・４角４辺∞角孔ねじれ正多面体(4,4|∞)

　

2020.06.09 Tuesday