050:16面体にぴったり収まるケプラーの星形８面体

■１■朝起きでぼんやり綿棒多面体の16面体を眺めていた。この16面体はフランク・カスパー相における原子配位数16に対応する配位殻のボロノイ領域の形状で、ほぼ正５角形に近い４等辺５角形が12面と正６角形が４面から構成されているもので、同様の12、14、15面体と共に綿棒多面体で作ってみたものだ。

■２■眺めているうちに、５角形部分の補強として内向きに入れてある５角錐の頂点を結ぶと、アルキメデス立体の切頂４面体に見えてきた。ただし１辺は綿棒１本より短い。なので綿棒１単位で制作できないけれど、切頂４面体を切頂しないままの正４面体として、３頂点に接する形で差し込めないだろうか。

　　

■３■さらにぼんやり眺めていると、４面ある正６角形の中心同士を結ぶと正４面体になるのではなかろうか。ひょっとして綿棒２本で繋がるのでは？試してみたらどんぴしゃだった。ならば正６面体の面心を繋いで２倍体の正４面体を入れ込むことができるはず。さらにその中心に正８面体も仕込んでみよう。

■４■３角形の隙間から指を突っ込んで、難儀しながら作ってみた。できた。ならば最初の正４面体も入れ込んで、ケプラーの星形８面体にも出来るのではないか？案の定できた。３つの５角形の中心点の真下に頂点が来る。フロー状態だが、５角錐の頂点３つが各頂点近くを３方から支える構造になっている。

　　

■５■複雑な計算は何もしていないけれど、眺めていれば何となくわかることはたくさんある。かつて正８面体を中心にして、２倍体の正４面体を２つそこに付けた形のケプラーの星形８面体を作ったことがある人は、誰でもこの16面体をその外側に作る事ができるということでもある。３次元空間も大好きだ。

(※)ただしこの綿棒多面体は辺の基本単位長が綿棒１本なので、ほぼ正５角形に近い４等辺５角形を正５角形に、また正６角形内ほぼ正３角形の２等辺３角形６面による背の低い６角錐ではなく、正３角形６面できた平面になっている。

2020.05.21 Thursday