049:ガンマ黄銅クラスターの６つの４面体５重環

■１■ガンマ黄銅クラスターの話で中心の正４面体は４つの20面体が４重に重なるが、実は６重でもあったという話のために中心の正４面体(上図左)の６本の線を６色に塗り分けてみた。正４面体時加の各面から正４面体を立ち上げると、正４面体のダ・ヴィンチの星の形になる。このえる12本の綿棒が、それぞれ広がった「コ」の字型に繋がるように接続する（上図中）。



■２■さらにその先にあと２本ずつ接続させると、正５角形が６つ組み合わさった形状で、互いに直交する正５角形の対が３セットになっている（上段図）。そのままでは歪むので白の綿棒を12本加えて支えると安定した凹凸24面体になる（上図左）。これがそのまま正４面体５つの環が６つ組み合わさった形でもある。上図中はその形を３重回転対称性の軸方向から、上図右は２重回転対称性の軸方向から見た形状である（ただし色合いは対称性に含まない）。


　
■３■これがそのまま正４面体５つの環が６つ組み合わさった形でもあることを、それぞれの部分の６色塗り分けで見て取れるだろうか。上左が青い正５角形青い正５角形と、その中心を通る線に５つの４面体が接続した形だ。その中心を通る線に５つの４面体が接続した形。上中が黄色の正５角形、上右は緑の正５角形に沿って出来ている正４面体５環体だ。


■４■さらに上左は赤い正５角形と、正５角形とその中心を通る線に５つの４面体が接続した形であり、同じく中は紫色の正５角形、右はオレンジ色の正５角形と、その中心を通る線に５つの４面体が接続した形である。３軸直交のみの空間認識だと、もはや何が何やら分からないままになってしまう。１つの５環と他の５環の関係を重ねてみるのはまだ難しいだろう。

　　　　　
■５■最後は６つの「４面体の５環」がそれぞれこの角度で入っているという概念図だが、既に２次元平面でそれらの組み合わせを表現するには平面過ぎて叶わない。１辺に集まった４面体５つからなる５環（ほぼデルタ10面体）が、それぞれ中心の正４面体の６本の辺を中心にぐるりと重なってできているという構造を、思考だけで理解しようとしてもなかなか最後まで見極められない。

■６■そこで自分なりに解明するために、綿棒に色塗り１つ１つ作図してみた。取り敢えず自分だけは分かったつもりだけれど、他人にそれを共有しようとしても、４次元多胞体的な在りようは２次元では伝わらない。せめていつの日かのために（もちろん｢いつの日か｣は別になくても問題はない）視覚的イメージを残すために画像だけでも晒しておこう。

2020.05.19 Tuesday／2024.09.04 Wednesday