048:ガンマ黄銅クラスターからピアース・クラスターに

■０■既に１度バーグマンクラスターについては、綿棒多面体の「四重星(よつえぼし)」製作と合わせてまとめてあるが、改めて正４面体を対称的位置に順次追加することにより、ガンマ黄銅クラスターを反転したようなピアース・クラスターまでの繋がりを元に見直してみたい。

■１■バーグマンクラスターは、単一の頂点を中心に対称的に構築された多面体構造だったが、ガンマ黄銅クラスターというモデルは１つの正４面体中心に対称的構築された多面体構造である。４面体を順次対称的な位置に付加していくと、最終的にピアース・クラスターに変形するまでの過程を追ってみよう。

■２■４つの球を互いに接する形にすると、その中心を繋いだ形は正４面体になる。ガンマ黄銅クラスターはこの１つの正４面体から始まる複合４面体構造として見て取れる。この正４面体の各面にさらに４つの球を乗せると、４方向に４つの正４面体が立ち上がり、(正４面体の)ダ・ヴィンチの星の形になる。

■３■この全部で５つの正４面体からなる構造で、頂点(すなわち原子)は８つとなる。さらにこの外側の４つの正４面体のそれぞれの間（中心の正４面体の６本の辺上でもある）に、それぞれ２つずつの正４面体（実際は少し歪んだ４面体）を入れることで、17個の４面体と14個の頂点のクラスターが得られる。
　
■４■結果として、中心の正４面体の６本の辺のぞれぞれを中心とした４面体の５環(形状はほぼデルタ10面体)が６つできる。これら６つの４面体の５環は、互いの１辺を中心に直交する対の３セットであり、まるで多胞体のようにそれぞれ一部が重なりあいつつ、６つとも全て中心の正４面体で重畳している。

■５■後から加えた(２×６＝)12個の４面体のそれぞれの２面に(２×12＝)24個の４面体を接続させると、26個の球が配置され、合計41個の４面体となる。球を追加することなくさらに16個の４面体を加えると、４個の正20面体が中心の正４面体を共有しつつ相互貫入するガンマ黄銅クラスターのモデルとなる。
　
■６■さらに40個の４面体を追加する。これにより（オレンジ色の３角形で示されている) 12個の頂点が追加される。これらは隣接する26個の原子クラスターの原子の位置に対応している。38個の頂点を持つ97個の４面体のクラスターが得られる。ガンマ合金では、クラスターは体心立方格子を中心にしている。

■７■緑の４面体を取り除くと、この拡張されたクラスターは中心の正４面体と互いに面で接している４つの20面体のクラスターになる。中心の正４面体は４面が４つの20面体と接しているが、そのどれとも胞部分は重畳していない。この４つの20面体と１つの正４面体からなる構成がピアース・クラスターだ。
　
■８■４個の正20面体が中心の正４面体を共有しつつ相互貫入するガンマ黄銅クラスターだが、この４つの正20面体をもう１度中心方向に相互重畳させながら収縮させていき、中心の正４面体もオーバーフロウして突き抜けると、４重だった正４面体部分が空洞になり、形状してはピアース・クラスターとなる。

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・ピアース、Ｐ.『自然界の構造はデザイン戦略である』MITプレス(1978).
・Ｅ.Ａ.ロード＆Ｓ.ランガナサン『ガンマ黄銅クラスター構造とボルディック-コセクター螺旋』J. Non-Crystalline Solids (2004) (出版予定)。
・Ｅ.Ａ.ロード、Ａ.Ｌ.マッカイ、Ｓ.ランガナサン『ミクロの世界の立体幾何学』日野雅之・関根信彰訳、宮崎興二監修。丸善出版。(2020)

(※)画像は以下のページから借用・大幅に加工しました。 https://slidesplayer.net/

2020.05.18 Monday