045:数学と幾何学でなくカズとカタチで

■１■世界を捉える時の空間認識や日常生活においても、５重対称性の多面体的発想を持つべきだという主張は、３軸直交の空間認識が間違いであるとか、古いとか言っているのではないことは繰り返し述べている。今の私たちにとってはこの双方の捉え方は相補的でもある。実例を示した方が話が速いだろう。
　
■２■５角形12と６角形２からなる14面体は既に見たが、この14面体が６角形面を共有して２つ連結したユニットが、正６面体の互いに平行な２面の位置に対で入り、３軸直交の形でクラスターを作ると、その(体心立方格子の)中心の隙間には５角12面体が入る。図では分かり易いように３軸を順に入れてみた。
　
■３■さらにこの配置構造の体心立方格子点（図で薄く赤色で示してある正６面体の８つの頂点）には５角12面体がぴったり嵌まり込むので、この構造をどこまでも拡張することが可能である。なおこの８つの５角12面体は中心の５角12面体と大きさは同じだが、向きが異なっていることは失念してはならない。
　
■４■この充填構造は全体として、ライナス・ポーリングが1952年に解明した塩素ハイドレート構造と同じである。包接化合物として知られる物質の一種である塩素ハイドレートは、この構造の頂点と辺に配置された水分子の４連結ネットとなり、その大きな14面体形状のかごの中に塩素原子が入り込んでいる。
　
■５■これと同じ複雑なクラスター構造であるメタンハイドレートは日本近海やロシアの永久凍土の中にも豊富に存在する。メタン分子が氷のような結晶構造中に閉じ込められていて、石油資源に匹敵する炭化水素の巨大な貯蔵タンクとみなされている。エネルギー問題にも特筆すべき重要性があると言えよう。

■６■この12面体と14面体による空間充填構造は、β-Ｗのボロノイ領域と一致する。これらは水分子がかご状に水素結合を形成し、内部にガス分子などを包蔵する性質を持つクラスレートハイドレートの一種だが、固着した世界観ではなく、私達の世界認識の１つの比喩であるということを改めて強調したい。

2020.05.06 Wednesday