044:ラーベス相のボロノイ領域における空間分割

■１■１つの頂点周りに正12面体を４つ接合させようとしても、僅かな隙間ができて上手くいかない。しかし正12面体を少しだけ変形させた５角12面体にすれば、面と線を共有する正４面体状のクラスターになる。なおこの４つ組内の１つの５角12面体の対の頂点にも、さらに３つの５角12面体の接合が可能だ。
　
■２■結果として全部で７つの５角12面体のクラスターとなるわけだが、さらにこのクラスターを正４面体の<面心・重心・頂点>を貫く３重回転対称性の４軸方向に連結すると(７×４＝)28個のダイヤモンド状格子形のネットワークができる。分かり易いように図では４つのクラスターの位置を色違いで示した。

　

■３■フランク-カスパー相における配位数16のボロノイ領域は、｢５角形12個+６角形４個｣の16面体だった。１つの16面体の６角形面に合わせる形で４つの16面体を接続させると、ダイヤモンド状格子形のクラスターになる。実は上述の12面体28個のクラスター中心の間隙に、この16面体５個がぴったり収まる。　　　
■４■この12面体と16面体の空間充填はラーベス相(※1)のボロノイ領域における空間分割にほかならない(※2)。ラーベス相とは金属間化合物の相の１つで、組成ＡＢ2からなる。一般にＡサイトに配置された原子はダイヤモンド構造と同様な配置となり、Ｂサイトの原子はＡサイト周りに４面体を形成する。
　　

(※1)金属間化合物の相の一つであり、ＡサイトとＢサイトを占める原子の半径比が1.225 : 1 に近いときに形成される、組成ＡＢ2からなる。一般にＡサイトに配置された原子はダイヤモンド構造と同様な配置となり、Ｂサイトの原子はＡサイト周りに４面体を形成する。

(※2)『ミクロの世界の立体幾何学』を参考に。

2020.05.04 Monday