043:ボロノイ図とドロネー図

■１■２次元におけるボロノイ図とドロネー図を考えよう。例えばある平坦な土地に複数のコンビニ店があり、住民は最も近い店を利用すると仮定すれば、各店のテリトリーが決まる。これがボロノイ図。また相互隣接する店舗間を線で直接繋いだものがドロネー図。ボロノイ図とドロネー図は双対関係になる。
　
■２■３次元空間ならば、プラトン立体の双対立体の面点変換の関係もこれに相当する。ドロネー図は全て３角形の集合になるので、正４面体・正６面体・正12面体がボロノイ図であるとするならば、正４面体・正８面体・正20面体がドロネー図に対応する。フランク-カスパー相でも面点変換として見て取れる。

　

■３■身近な世界の中だと、トンボなどの翅脈にもボロノイ構造的な形状が見て取れる。静的な平面図形として捉えるだけでなく、３次元空間を飛翔する時の捻じれや羽の付け根と先端での強度差や体液を張り巡らせる効率などの生物学的要素も視野に入れる必要がある。キリンの模様や亀の甲にも見て取れる。

　

(※)世界中の空港の位置をボロノイ図で表現した「World Airports Voronoi」
https://gigazine.net/news/20140516-world-voronoi-airport/　より

■４■世界中の空港の位置と最も近い空港を利用する客との地理的関係を表した図がある。これは３次元球面上でのボロノイ図だ。隣接する空港間を直接線でつないだものがドロネー図となる。｢空港までの距離が最遠の地点｣は南極大陸上で、｢近郊の空港から最も距離が離れている空港｣はイースター島にある。

(※)地球上で最も空港までの距離が遠い地点は、南極大陸上の南緯76度・東経68度。(小規模空港除く)
(※)最も近郊の空港から距離が離れている空港は、イースター島の国際空港で南緯27度・西経109度。
(※)画像は以下のサイトからお借りしました。
・「地理空間情報技術ミュージアム」http://mogist.kkc.co.jp/welcome/　
・「自然の中の数学、ボロノイ」http://yomotsu.net/blog/2015/07/26/voronoi.html
・「123RF」　https://de.123rf.com/lizenzfreie-bilder/
・「水色のイメージ」　http://ah3dprintshop.com/2632

2020.05.02 Saturday