041:５重対称性の立体を繋ぐ綿棒多面体

■１■正４面体だけでは３次元空間を充填することはできない。正４面体の２面角は70.5度なので、１本の線の周りに正４面体を５つ配しても352.5度で360度には7.5度足りない。５つの隙間に分散しても、1.5度ずつのギャップが生じる。しかし綿棒多面体で調整することで、デルタ10面体を作ることができる。

■２■また線ではなく点の周りに正４面体を20個集めることで空間を充填させようとしても､やはり相互間に2.9度ほどずつの隙間ができてしまう。少し変形した正20面体の形になる。正20面体の１辺と外接球半径の比が20：19だからだ。しかしこれも綿棒多面体で調整することで、正20面体を作ることが可能だ。

■３■では正20面体と双対である正12面体で空間充填は可能だろうか。正12面体の２面角は116.6度だから、１本の線の周りに正12面体を３個配すると、それぞれの隙間は3.4度だ。同様に綿棒多面体で隙間を調整しつつ、この３個にもう１つの正12面体を接続させると、１点に正12面体を４つ集めた形になる。

　　

■４■実際に正12面体を４つ正４面体の形状に接続させて、綿棒多面体でクラスターを作る事は可能だ。しかし１辺１単位のものではかなり大きくなるし補強用の綿棒も多くなるので、４色４つの５芒星12面体をで作ってみた。共有する面は全部で６面。黒で着色したが、白のまま、あるいは第５の色でもよい。

■５■５重回転対称性の多面体群は、３次元空間においても単体では理想的な形状を保つことかできる(※1)｡しかし複数の多面体を接続させたり相貫させようとすると、どうしても相互間に歪みが生じる。これは「プラトン立体における自己他者問題」とでも表現したいものだが、綿棒多面体は調整可能である。

■６■例えばこの隙間調整して面同士で接続した、４つの正12面体クラスターの綿棒多面体は、３次元空間では歪んだ正12面体４つなのか、それとも綿棒の伸縮自在性で調整した正12面体なのか？どちらとも言えるのか、どちらでもないのか？４値論理ではどれでもＯＫ(※2)だ｡綿棒多面体は両者を繋いている。

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(※1)ここでは重力による歪みや個人的な製作癖などによる不完全さは問題にしない。

(※2)「４値論理」の基底には、どこまでも世界を２元対立で捉える世界観ではなく、対面に等価等量の対価値がない「５重対称性論理」がある。正５角形の中心を介した対面には点がないように、３でも４でもなく５重のホロンロジックが、それぞれ５つの間で反射しつつ内蔵する。「５重対称性論理」については長くなるのでここでは語らず、今後折に触れ展開して行くつもりだ。

2020.04.28 Tuesday