040:３軸直交を内包しつつ５重対称性の空間認識へ

格子複合体的な切頂８面体と正20面体

■１■原子は変形や相互貫入が不可能な固くて歪まない形状をしているのではなく、一定の制限内で結合角や結合距離は流動的に変化する。従って正多面体や準正多面体構造を有しているものが、トポロジーを持ち出すまでもなく、諸条件下でわずかに変形して新しい結合や複合体を作るのはむしろ自然である。

■２■結晶学は「理想的な結晶は３次元空間において単位胞が無限に繰り返し並ぶ構造を持つ」という仮定から進展したが、それがまたその自由度を拘束してきた。例えば正６面体は正８面体と共に、私たちの三半規管その他による身体自身及び世界との関係の元となる、３軸直交の空間認識と実に相性がいい。
　

■３■正８面体の頂点部分を切り取って辺長を揃えると、アルキメデス立体の切頂８面体となる。切頂８面体はそれ自体だけで空間充填する。切頂８面体の24個ある点の半分の12個を繋ぐと、変形した20面体になる。私達の３軸直交の空間認識が共有なので、これを正６面体に入れ込むと相互関係が理解し易い。

■４■この20面体を８個、正６面体の頂点に重ねて連結させることができる。それぞれの間隙は変形した正４面体の形状となる。しかしその中心に位置する９個目の20面体は、周囲にある８個の20面体と向きが異なるので、この構造は結晶学で言う体心立方構造ではない。正20面体でも同様の構造が可能である。
　

■５■この構造を３次元空間を充填する切頂８面体からの変形と見るか、正20面体構造からの変形と捉えるか、あるいはどちらでもありどちらでもないと捉えるかの差異はある。３次元空間を充填するとは、一意では自由度がないということだ。３次元の呪縛と解するか、５重対称性への寿文とするかも自由だ。
　　　　　　
(※)｢格子複合体｣とは、１つの空間群が推移的に作用する特別の位置の集合のこと。結晶構造における原子配列に対しても名付けられている。訳2000種の結晶構造は、わずか10種類の格子複合体で構成される。

(※)正８面体(点６,線12,面８,胞１)→切頂８面体(点24,線36,面14,胞１)。つまり<点･線･面･胞>はそれぞれ<４･３･２･１>倍になる。

(※)切頂８面体(点24,線36,面14,胞１)、正20面体(点12,線30,面20,胞１)。

2020.04.25 Saturday