039:５重対称性の多面体について語る (5)

ガンマ黄銅クラスターを四重星として作る

■１■四重星制作手順。正20面体の４重相貫体だと分かるように、４色に塗り分けた綿棒を用いる。色は好みだがここでは「赤･白･青･黄｣のドリームスペルカラーにしてみた。先ずはベビー綿棒15本とノーマル綿棒15本の合計30本１セットを４色分､全部で120本の綿棒にペーパーセメントを塗って数分乾かそう。

　　　　　

中心の正４面体の稜線がそれぞれ２つの正20面体の線と綿が重なっていること（胞部分／内部は４重）を説明するために､ベビー綿棒２本ずつで１本の線を表現している。混乱しないように先ずは同色の正３角形を４つ作り、１つを真ん中にして、大きな正３角形に揃えてから、正４面体に立ち上げる。さらに第２番めのそれぞれ正20面体が３重に交差する部分となるダ・ヴィンチの星の形にするための配置が４番目の画像。

■２■ 製作開始。先ずはベビー綿棒12本を用いて、図のように各辺が２色からなる正４面体を作る。制作方法は自由だが、ベビー綿棒１色からなる正３角形を４色分作り、正４面体の４面として組み合せば、自然と２色ずつが組み合わさった正４面体となる。これが唯一４つの正20面体が重なる４重領域となる。

　　
　　　　　　　　シンプルな正４面体構造だが、正20面体４つが重畳する中心核となる。

■３■ この正４面体の１つの面から３角錐を立ち上げてデルタ６面体を作る。その時、接続面の正３角形の頂点を通って繋がる２本ずつの線は同じ色の組み合わせとする。全てベビー綿棒使用。同様にして残る３面からも正４面体を立ち上げると、全体の形状としてはダ・ヴィンチの星となり、３重領域になる。

　　
正４面体のダ・ヴィンチの星の外側４つの部分は、それそれ異なった色の組み合わせとなる３重の正20面体の部分でもある。

■４■ ダ・ヴィンチの星の、ほぼ菱形のように接続する正３角形２つの内側の接点から、その｢両端の２辺に共通する色のノーマル綿棒｣を立ち上げて、その先端を繋げる。さらにその菱形の外側の２頂点から、ノーマル綿棒の２色と同色の組み合わせにベビー綿棒２本セットを立ち上げて、やはり先端を繋げる。

　

ダ・ヴィンチの星の隙間に２つずつ４面体（正確には正４面体から少し歪むが、綿棒多面体ではそを面部分の進出圧縮で調整して表現）を入れ込む形にしながら制作する。このぴったりつかない５重対称性などの間隙を、専門用語では「幾何学的フラストレーション」と言う。

■５■ 同様にして残る５つのほぼ菱形の４点から４本（ノーマル綿棒２本、ベビー綿棒２本ワンセットを２つ）を立ち上げて、それぞれ新しい１つの頂点とする（ノーマル綿棒12本、ベビー綿棒24本）。なおこのフェイズで新しく作った部分は全て、完成後に４つの内の２つの正20面体が重なる２重領域になる。

　

４番目の外部正20面体の単体部分の構築は、１点に稜線は必ず５本集まるという正20面体のお約束さえ外さなければ、色合いを見ながら組み立てパズルのようにサクサク進むはず(^^)。脳みそ前後左右葉、心臓の２心房２心室、自我の内と外の自己他者問題、４値論理、四元数、結構いろいろな概念のプロットに使える正４面体構造。

■６■ 残るノーマル綿棒の同色12本ずつを用いて、どの頂点にも５本の線が集まるということを頼りに４つの正20面体を立ち上げる。このフェイズで新しく作った部分は全て、完成後に４つの内の１つの正20面体のみの領域になる。もし全体を見てそのようになっていなかったとしたら、制作過程のどこかで接続を間違えているはず。極力回転せずに作る事。（ノーマル綿棒12×４＝48本）

■７■完成後にこの四重星を転がして見ると、様々な発見がある。全部の結節点は制作層順に４＋４＋６＋12＝26個である。外部のみの形状だと、22個の頂点、60本の線(２本一組は１本としてカウント)からなる凹デルタ40面体だ。正20面体を球体と見れば、中心にできる４重領域はルーローの４面体である。

■８■２つの正20面体も５角錐を陥没させ合うと立体ベシカパイシスとなる。20：19のずれから、各正20面体の重心から少しずれたところに、他の３つの正20面体が集まる頂点がある。この四重星自体を交差させた八重星(やつえぼし)も製作してみた。作って初めて分かることは多々あるが、楽しいのが一番だ。

2020.04.24 Friday