038:５重対称性の多面体について語る(4)

ガンマ黄銅クラスターと４重正20面体

■１■同じ半径の球の配置として表現できるガンマ黄銅クラスターの26原子の塊りを、同一長の綿棒とその結節点で、４重に相貫交差する正20面体である「四重星」として表現できることは既に見た。しかし実際にその綿棒多面体を作る時は、中心部分から４色の正20面体の配色を考えつつ順次組み上げていく。

■２■ここでは先ずガンマ黄銅クラスターが、１つの正４面体の周囲を４面体が囲む形の複合４面体構造としてなされている『ミクロの世界の立体幾何学』(※)の構成説明を紹介し、次にそれを知る前に先日大阪の集会で綿棒多面体として参加者全員が作った｢四重星｣の、中心からの多重製作行程を復習しよう。


■３■合金では原子は１種類ではないが、ニーマンとアンダーソンは便宜上26個の原子からなるクラスターを、同じ半径の球の配置からなる特殊な複合４面体構造として説明した。先ず４個の球が互いに接する配置で正４面体を作る。そしてその正４面体の４面の外側に、それぞれ１個ずつ４つの球を配置する。

■４■結果として４つの正４面体が中心の正４面体を囲んで、ダ・ヴィンチの星の形になる。さらにこの付け加えた４つの正４面体の間に６つの球を配置すると、そこにそれぞれ２つずつの４面体(実際は少し歪んだ正４面体)が入り、中心の正４面体の６本の線を含む直交した正５角形が３組できることになる。

■５■これは17個の４面体からなるクラスターとなる。後から加えた４面体の各辺をさらに５つの正４面体で環状に囲むと26個の球が配置され、合計41個の４面体となる。球を追加することなく、さらに16個の４面体を加えると、結果として４個の正20面体が相互貫入するガンマ黄銅クラスターのモデルとなる。

■６■通常、26原子のクラスターは、このように中心から４重の殻によってできていると説明される。このことは綿棒多面体で制作すると、中心側から正20面体の空間的重畳が４重・３重・２重の(正)４面体構造となり、最外層は単一の正20面体の部分となることがよく分かる。

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(※)E.A.ロード、A.L.マッカイ、S.ランガナサン著。日野雅之・関根信彰訳、宮崎興二監修。丸善出版。令和元年12月20日発行。p.108〜110

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