037:５重対称性の多面体について語る (3)

２重と４重の正20面体クラスターと綿棒多面体

２つの正20面体が接合する、５角錐底面の正５角形部分。

■１■ 大きな単位胞を持つ合金の結晶相や、六方水晶系の対称性を持つ複雑構造金属間化合物相は、12個あるいは13個の原子からなる正20面体クラスターが原子共有や相互貫入する基本ユニットとして表すことができる。最初の画像は内部も含めて19の頂点があり、19の原子からなっている２重正20面体である。

　　　　　　　２つの正20面体が互いに貫入して、２重正20面体になった形。真横からのビュー。
　　　　　　　中央のデルタ10面体の部分が、ベシカパイシスのようにも見える。

■２■ 綿棒多面体でこの２重正20面体を作ってみると、全部で55本の綿棒を使用することが分かる。鏡像面となる正５角形の接合部分を挟んで、凸の５角錐部分が相互貫入して重畳しているデルタ10面体の部分が、まるでベシカパイシスのような形状にも見える。５重回転対称性の他に２重回転対称性を有する。

　　　　　　　　　　　　　　　　　２重正20面体の別角度からの見え方。

■３■ この２重正20面体を、さらにもう１つの２重正20面体と相互貫入するように直交させると、既に「四重星(よつえぼし)」と名付けて綿棒多面体として大阪のワークで制作した形状と同じになる。この４重正20面体はそれぞれの正20面体のほぼ重心位置に４つの頂点ができ、それらを繋ぐと正４面体が入る。

　　　　　

　　　　　２重正20面体の接合面にある正５角形環に直交する正５角形環。その直交
　　　　　する正５角形環に沿って、もう１つの２重正20面体を直交させる。

■４■ 綿棒多面体で製作すると、内部で共有する線は必ず２つの正20面体のもので、３個４個の重なる線というものはない。ただし内部に複数できる正４面体(及び正４面体に近い４面体)は、中心から正20面体の４重・３重・２重部分であり、そして単体の正20面体の半分は他の正20面体とは重ならないままだ。

　　　　　４重に相互貫入している４つの20面体「４重星（よつえぼし）」。内部に６色
　　　　　入っているのは、それぞれ直交する２つずつの正５角形環が３つあるから。

■５■ またこの相互貫入する４重に正20面体の内部で、２つずつの正20面体の接合面は全部で６面あり、２つずつが直交するトーラスのように組み合わさり、その直交する正５角形面は、中心にある４重の正４面体を４分割している。だこれは実際に作ってみなければ、実感として空間把握することはできない。

　　　　４重正20面体（四重星）を、内部の３対の正５角形環を表したものと、４つの正20面体
　　　　が互いに貫き合って、中心で４重の正４面体を作っているところを示したものを並べてみた。

■６■ この相互に貫入する４重正20面体のクラスターは内部も含めて頂点が全部で26個ある。その格子位置に26個の原子を置くことで、例えばガンマ黄銅クラスターの配置として説明できる。ただし原子は１種類ではないので、ガンマ黄銅クラスターはこの理想化された構造をわずかに変形した形状で存在する。

2020.04.21 Tuesday