035:５重対称性の多面体について語る(2)

原子クラスターと綿棒多面体

■１■バルク(一般的な大きさの固体)のサイズを小さくして行くとナノ粒子となる。ナノ粒子は原子数に関係なく一定の物性を保つが、更に原子数を減らして行くと物性が著しく変わる境界線がある。この境界線以降の、物性が原子数や構成物質や構造に強く依存する領域が｢原子クラスター｣と定義されている。

■２■原子クラスターは原子数が数個から数十個からなる原子の集合体だ。バルクともナノ粒子とも異なった物性を持っている。液体・個体とも孤立した原子・分子系とも異なる第４の物質系の状態であるとも考えられる。未知の可能性を秘めたこのような状態の集合体は、自然界には準安定にしか存在しない。
　　

■３■しかし近年、一般的な理解とは正反対の物性を持つ原子クラスターにも新しい動きがある。炭素原子60個からなるフラーレンクラスターを集合させて半導体の物性を持つ薄膜を生成するなど、原子クラスターの同一構造を維持しつつ集合させて、結晶構造の持つ新材料を生み出す試みも始まっているのだ。

■４■ここで綿棒多面体制作の視座を介してクラスターを見て行こう。金と銀の原子は構成原子数が13個の時、正20面体の閉殻構造をとる。このとき内部にある原子は１個しかなく残りはすべて表面にある。理論的にはそのクラスター群がさらに大きいクラスターを形成して、超クラスターとなることが可能だ。

　　　

■５■大量の原子を含む単位胞には様々な結晶相があるが、その多くが正20面体の対称性を持つクラスターとして説明されている。正20面体の各面に正８面体を20個配置すると20・12面体の構造となる。綿棒多面体で正20面体を中心核としてバッキーボールを作る時、第２層となる20・12面体と全く同じである。

■６■細かいことを言うと、正８面体の２面角は109.47度であり、正20面体の面角は139.19度だから、正20面体の１つの線を中心に２つの正８面体がを接すれば、360−(139.19+109.47×２)＝2.87度の隙間ができる。綿棒多面体で第２層の20・12面体が一番の難関であることは、制作したものなら分かるはずだ。

　　　　　

■７■実際のクラスター内の原子は硬い物質ではなく電子の領域などはかなりの自在性があるので僅かに変形して安定するが、綿棒多面体制作でも、正20面体の外接球半径と１辺の比19：20に象徴されるこの僅かなずれを、綿棒の綿部分を伸縮や圧縮することで、フレキシブルに上手く調整して完成させている。

■８■正20面体に20個の正８面体を乗せてできた20-12面体の、12ある正５角形の凹５角錐部分にそれぞれ５つの正４面体を入れ込むと、マッカイの正20面体というものになる。これも綿棒多面体でバッキーボールを製作した者なら、綿棒を用いて各部を凸５角錐にすれば２倍体の正20面体になると知っている。

参考：(1)『ミクロの世界の立体幾何学』丸善出版　　　　(2)「まてりあ Materia Japan」第54巻第３号(2015)

2020.04.02 Thursday