034:５重対称性の多面体について語る(1)

黄金比連結の多重階層タイリング

■１■「正12面体」を綿棒30本で作る時、重力に抗して自立するよう各面を５角錐で補強する。全部で60本分の補強部分を外向きに立てると｢ダ･ヴィンチの星」となり、内向きに入れ込むと「大星形12面体」となる。内向きの頂点は「正20面体」となるが、さらにその内側には「星形12面体」がぴったり収まる。 ■２■すなわち「大星形12面体の外側にある頂点は正12面体の頂点であり、一方小星形12面体の外側の頂点は正20面体の頂点になっている」ということだ。このことは今からちょうど400年前の1619年にケプラー自身が発見し､その著作の中で発表している。この２つの星形正多面体はケプラーの多面体とも言う。

■３■綿棒多面体では「正12面体⇔小星形12面体⇔正20面体⇔大星形12面体⇔正12面体」の連結階層の１セットを、綿棒を５芒星と黄金３角形（底辺と斜辺の比が１：φの２等辺３角形）を用いて１／φ２^2：１／φ：１≒0.382：0.618１：1.618：2.618）を作り、その組み合わせで多面体の接続を表現している。

■４■綿棒多面体を離れれば、この連結構造は１セットで閉じておらず、黄金比を掛けることでミクロ−マクロ双方向にどこまでも連結していく。つまり星形化により空間を階層的に分割した状態を作る事ができる。面心⇔頂点を交換する「面点変換」によく似た多重連結構造だが、こちらは黄金比が鍵になる。

■５■別の捉え方をすれば、これらは全体が７種類の多面体（及びその黄金比倍）をタイルとして、正20面体の対称性を持つ３次元のタイリング問題であるということだ。後で知ったことだが、これは周期的繰り返し以上の意味を持つ階層的秩序を構成する原理であると、Ｐ・クラマーが1982年に発表していた。

■６■２次元ペンローズタイルの３次元への拡張はよく知られているが、これも３次元タイリングの一例である。この７種類のタイルとは正12面体と、３角形部分が全て黄金３角形である正５角錐・４面体・正３角錐及びその黄金比倍したものだ。しかし難しいことは知らなくても、綿棒多面体は指先で学べる。

■７■なお正12面体と正20面体のミクロ-マクロ方向への多重連結構造には、面心⇔頂点を交換する｢面点変換｣が良く知られている。この「面点変換｣は正12面体と正20面体の相貫体の相互大小関係の入れ代わり過程を、アニメーションの中割のように描写できる。 ■８■下図はその正12面体と正20面体の面点変換の過程に生じる立体を円環にして表した図である。右回りと左回りの双方向があるが、相貫体としての形状を示すもので、総体的な立体の大きさは問題にしていない。なお｢加頭｣という接頭語は｢切頭｣に対応するネーミングで深い意味はない。

■９■１つの大きな相対的相関図として、右回りにも左回りにもアニメーションのように動き続けている３次元的な転がりだ。正12面体、切頭12面体、20-12面体、切頭20面体、正20面体、そしてその反対側にある形も全て、３次元的な断面図として解することができる。

　

2020.04.02 Thursday