032:切頂４面体からバッキーボールを作る

■綿棒でバッキーボールを作る方法は沢山ある。個人的に一番ノーマルなのは、１辺が綿棒１単位で<正20面体><20-12面体><切頂20面体>の３重の構造体だった。その時は<正20面体>の各面に正８面体を重ねると<20-12面体>になり、そこからさらに綿棒を連結して<切頂20面体>を立ち上げるというものだった。

■この形で第２層の<20-12面体>がすんなり綺麗に接続しない点が難所だった。１本の軸の周りに正４面体を５つ集めると、正４面体の２面角は70.53度なので360度に足りず、隙間の１つ当たり1.47度が不足する。しかし綿棒多面体だと正４面体をわずかに変形調整すればその隙間を埋める事が可能だった。

■或いは正４面体を１つの頂点に20個集めて正20面体を作ろうとすると、１つの隙間ごとに約2.9度の隙間ができてしまう。正20面体の重心−頂点間と１辺の比ほぼ19：20で、実際に綿棒で作ろうとしてもこのギャップは吸収しきれない。もちろん正20面体は表面の正３角形20面だけで自立するので問題はない。

　

■今回は切頂４面体を20の構成ブロックとして、３重構造のバッキーボールを考えてみよう。線長比３単位の正４面体を作り、その４頂点から線長比１の正４面体４つを切り取ると、１辺１の切頂４面体になる。切頂４面体の４つの面心間は単位長１で、それらを結ぶと正４面体が内接している事が見て取れる。

■この切頂４面体を１本の軸の周りに５つ集めると、環状に連結してレンズ形になる。この５環状切頂４面体の切頭部分が５つ集まると、バッキーボールの少しへこんだ５角錐部分となり、また反対側は中心殻になる正20面体の５面分に当たる５角錐に重なる。これは長年想像できなかったが作ればすぐ分かる。

　　

　　

■５環状の切頂４面体を真上から見ると、５重回転対称性を持つ５角形（正確には凹凸15角形状）に見える。また真横から見ると、上下とも同じ立体楕円状多面体に見える。つまりそれ自身を反転させても、あるいは上下に接続する立体を交換しても対称性は変わらず、さらに無限に連鎖できる２重回転対称性を有する。

■バッキーボールの５重回転対称軸は全部で６本あるので、12方向に無限連結できるということだ。なおバッキーボールは重心を介して対面同士は常に36度のよじれがあるので、多重連結のバッキーボールは隣り合わせ同士で36度のずれが生じるため、５重回転対称性は偶数個ごとに（36×２＝72度）対称性を取り戻す。

　　

■この５環状切頂４面体をＡ・Ｂと２つ作って、それらを正20面体の10個の正３角形部分で接続させると、第１層となる正20面体の上の５面と下の５面に対応することが分かる。この鼓状の立体は、見方によっては左右の脳や肺の形にも見える。イメージを膨らませば昼と夜・男と女・ツォルキンの全体のようでもある。

■そしてさらに同じ大きさの切頂４面体を10個、上下交互に配置された10環状トーラス形体(Ｃパート)を作り、中央の第１層を形成する正20面体部分で未だ被覆されていない10個の正３角形の上に被せると、Ａ-Ｃ-Ｂそれぞれの形がぴったり接続して、全体でバッキーボールとなることが分かる。この軸もまた６本ある。

　

　2020.04.13 Monday