030:小星形12面体に４角錐を30個立てる

中心にホシノタネが入るこの綿棒多面体のカタチそのものの現在の名前は「すず」という。

■下の画像は綿棒で作られた｢小星形12面体｣(愛称は｢タネンタイ｣あるいは｢星の種｣)全部塗りバージョンだ。｢５芒星12面体｣同様に３,４,５をこの上に見ることができるが、４だけは少し特殊な視座を持つ必要がある。

■正方形の４角形ではなく、図のように２重回転対称性のところに、辺長比が１：φの黄金長方形を見出さなくてはならない。そしてこの手前側と向こう側に４角錐を立てる。いわば２＋２＝４という捉え方だ。

　

■この黄金長方形の４隅から４角錐を立てたらどうなるだろう？頭で先に概念化したり、複雑な計算をしてから取り組むことができる人もいるだろうが、高級な理系頭ではないのでとにかくやってみることにした。

■結果として必要な本数は全体で120本で、５芒星12面体に全部の４角錐を乗せる本数と同じだということが分かった。結果的にはホシノタネよりほんの少し大きい掌サイズになったが、本数が多いのでちょい重い。

　

■４角錐を立ち上げる元の点は１点に10本が集まることになり、もはや「点」と呼ぶには少し抵抗があるほどだ(笑)。この10本が集まる12個の点は、最大の斜方切頂20-12面体の正10角形の面と同じ配置なのである。

■では４角錐の頂点たちの方はどのようなカタチになっているのか？頂点を結ぶと図で示したように20-12面体となっている。この面心に10本が集まる頂点を有する正５角形の１辺は１／φ^2≒0.382…になっている。

　　　　　　

左下の小星形12面体と後ろの多面体との大きさの比較。後ろの４重の立体は中心の正12面体の外に斜方20-12面体(コモノヌシ)、さらにその外に切頂12面体、最外装は斜方切頂20-12面体(オオモノヌシ)。

2020.04.02 Thursday