030:小星形12面体に４角錐を30個立てる

■中心にホシノタネが入るこの綿棒多面体のカタチそのものの現在の名前は「すず」という。

■１■下の画像は｢星の種｣の全部塗りバージョンだ。｢星の種｣の頂点を結ぶと正３角形・正５角形の他に、図右に示したように辺長比が１：φの４角形も見て取ることができる。｢星の種｣の上にこの黄金矩形を底辺に持つ４角錐を全部で30個立てたものが、頂点を結ぶと20-12面体になる綿棒多面体｢すず｣である｡

■２■｢星の種｣から綿棒60本を用いて正３角形を20個立てると、その頂点の形は正12面体になる。同じく60本を用いて正５角錐を12個立てると、その頂点の形は正20面体になる。だが｢星の種｣の頂点から正方形を立てることはできない。そこで§エス氏が120本をつぎ込んで４角睡を20個立てたのがこの立体だ。
　

■３■§エスはプラトン立体の面形や頂点に集まる線数の<３･４･５>のことや、回転対称性の３重･４重･５重ことを念頭にしたり、綿密に計算したりして製作したのではない。５重回転対称性の多面体が、常に３⇔５の関係で入れ替わるのなら４はどうなると試行錯誤した結果、直観と執念で作り上げたものだ。

■４■だから４角錐を立ち上げた４角形が黄金矩形であることや、正３角錐と正５角錐を用いて正20面体と正12面体を立ち上げるのには60本が必要だが、黄金矩形を底辺とする４角錐はその上方と下方の双方に立ち上げられるので、全部で120本を使うことや、できた形が20-12面体であることも知らないでいた。
　

■５■2016年頃までは、ベビー綿棒による多面体制作での細かすぎる作業は不得意だと思い込んでいたので、個人的に｢星の種｣(綿棒30本で作る小星形12面体)制作には本格的に着手していなかった。しかしラムーコ氏バージョンの制作方法を知り、さらに§エスの｢星の種＋｣に影響されて自らも作り始めた。

■６■この黄金矩形の４隅から４角錐を立てたらどうなるか？頭で色々考えても分からないので、結局作ってみるのが一番早い道筋である。結果的には星の種よりほんの少し大きい掌サイズになった。また必要な本数は全体で120本で、５角錐12個と３角錐20個を乗せる時の本数と同じだということが分かった。

■７■また｢星の種｣の30本に対してこの綿棒多面体｢すず｣は150本なので、手のひらに乗せても重さが５倍あるのでずっしりと重い。また４角錐を立ち上げる元の各点は結果として１点に10本が集まることになり、もはや位置の概念だけで長さや面積を持たない｢点｣と呼ぶには抵抗があるほどの大きさになる。

　　　　　　
左下の小星形12面体と後ろの多面体との大きさの比較。後ろの４重の立体は中心の正12面体の外に斜方20-12面体(コモノヌシ)、さらにその外に切頂12面体、最外装は斜方切頂20-12面体(オオモノヌシ)。

2020.04.02 Thursday／2024.09.01 Sunday