028:綿棒多面体「星の種」がつなぐもの

中心核とした｢小星形12面体｣｡左から５重・２重・３重回転対称性の軸からのビジョン。

■綿棒多面体の「５芒星12面体」上に見て取れる全ての正３角形・正方形・正５角形のそれぞれに、正３角錐・正４角錐・５角錐を立てて３つの立体を作ったが、同様に「小星形12面体」上の全ての３・４・５角形から３・４・５角錐を立てる作業も可能である。

３重回転対称性の頂点から３角錐を立ち上げたカタチを３種の対称性軸から見る。

■「５芒星12面体」同様出来上がった立体の３角錐・４角錐・５角錐の頂点を繋ぐと、それぞれ正12面体・20-12面体・正20面体となるのは同じだが、「小星形12面体」の場合は４角錐を立ち上げる元の底面は正方形ではなく、辺長比が１：φの黄金長方形である。

３種の回転対称性の軸からの同様の形にブラックライトを当ててみたもの。

■４角錐なのでその頂点にはそれぞれ全部で４本が集まるのだが、立ち上げる側の底面の点には元々５本ず集まっており、そこからさらに５方向に伸びるので、全部で10本が集まることになる。もはやベビー綿棒でも無理なのでさらに細い綿棒で制作することになる。

５重回転対称性の頂点から５角錐を立ち上げたカタチを３種の対称性軸から見る。

■結果としてできる20-12面体の辺長は、基本単位である綿棒１本の１／φ^2≒0.382…となっている。この頂点からさらに外側に綿棒を繋いでいくと、辺長比が１／φの20-12面体へと繋がっていく。またそのさらに外側にはバッキーボルに繋がる20-12面体がある。

３種の回転対称性の軸からの同様の形にブラックライトを当ててみたもの。

■制作をしていく過程で、頂点に集まる線数や面の形その他において、３，４，５の連結の中にも３-５の系と４-５の系があり、また４という数そのものにも正４面体上にプロットできるような、２×２の系と３＋１の系と表現しうる２つの流れがあることが分かる。

２重回転対称性の軸から、全面側と広報側に４角錐を立てた形の３種の軸からのビジョン。

2020.04.01 Wednesday