026:綿棒多面体｢星の籠｣がつなぐもの

■５重回転対称性を有する綿棒多面体で、今のところ最もポピュラーな３層構造のバッキーボール（切頭20面体）は、中心核が正20面体、第２層が20-12面体だが、第２層まではその他にも多数のバリエーションがある。

　

■この図は２・３・５重の回転対称性を有する５芒星12面(星の籠)を中心に据え、同じ回転対称性を有する頂点同士を結んだ３・４・５角錐を立ち上げて、その頂点の形状が最終的にバッキーボールに収まる20-12面体となる形だ。

　

■中心核の５芒星12面のみを、左から３重・２重・５重の回転対称軸側からの視座で示してある。しかしそこから立ち上がる角錐の形状は３・４・５角錐だ。分かりやすいようそれぞれ３-赤・４-黄・５-青で示しておいた。

　

■画像を見て数えることは無理だけれど、正３角錐を作るのに60本、正５角錐を作るのに60本、そして正４角錐を作るのに120本必要になる。そして元々の５芒星12面体の本数も60本。綿棒多面体の制作基本は60本である。

　

■５芒星12面体の頂点から立ち上げられるところは、交差するものも含めて全部立ち上げると上図のようになる。これら３種類の角錐の頂点を結んでできる３つの立体は、それぞれ正12面体、20-12面体、正20面体になる。

　

■それぞれ赤い蛍光ペンで塗った60本で正３角錐20個を、黄色い蛍光ペンで塗った120本で正４角錐30個を、青い蛍光ペンで塗った60本で正５角錐12個を立ち上げたカタチに、好みからプラックライトを当て示しておいた。

　

■黄120本の30個の４角錐は別にして、上の図左は５芒星12面体に赤60本を正３角錐として20個接続した形、図右は同じく青60本を５角錐12個で接続した形で、図中はそれらを１つの５芒星12面体に重ねて接続した形である。

　

■上図左はその前の形をブラックライトに当てた画像であり、図中は同じ形を３重回転対称性の軸側から見た形であり、右図はそれにブラックライトをを当てた画像になっている。３-５の関係と４-５の関係は別物である。

　

■次に青色５角錐の頂点をそれぞれ５本の綿棒に切り開き、５芒星12面体の線心上方で黄金比で交差している赤色綿棒のさらに上方で、両面由来の２本の頂点を１つにする。上図はそれを３･２･５重の回転対称軸から見たもの。

　

■５芒星12面体の各線上に伸びている赤と青の綿棒２本ずつを白い綿棒30本で繋ぐと、重心方向から垂直方向に30個の５芒星ができ、白色綿棒だけを見ると正12面体となる。図はそれを３･２･５重の回転対称軸から見たもの。

　

■この正12面体の30本の線を内包する30個の５芒星の頂点から、左右両側にある正12面体の面心方向に、新たに60本を用いてそれぞれ逆向きの５角錐を12個作る。するとその12個の頂点は内部で正20面体の12個の頂点となる。

　

■上の画像はその12個の内向きの頂点に、白い綿棒30本で正20面体を接続したものである。それぞれ左から３･２･５重の回転対称軸から見たものであり、白い正12面体の系と正20面体の系を接続する｢星の間｣の全体像である。

　　

■５芒星12面体から３･４･５角錐を立ち上げた３種の多面体と、その内の３及び５角錐を纏め、さらに変形して60本を加えた最初の白い綿棒多面体の図だ。この最外層の頂点形状は20-12面体でバッキーボールに綺麗に収まる。

　

■制作過程や回転対称性が分かりやすいように右側の図形は着色したが、形状はほぼ同じである。実は中央にある小星型12面体が左には入っており、右にはないがさほど意味はない。５芒星12面体も抜き去っても問題はない。

　

■５重回転対称性の綿棒多面体には綿棒長の１単位があり、正12面体と正20面体は共に内外に綿棒多面体を接続できるが別の系列で相互接続は不可能だと思われていたが、立体黄金比で捉えた｢星の間｣で接続可能なのである。

2020.03.18 Wednesday