025:デルタ多面体についてまとめてみた

■１■１種類の正多角形のみで構成される凸多面体は10種しかない。各面が正３角形のみの４,６,８,10,12,14,16,20面からなる８種類のデルタ多面体と、面形が正３角形・正方形・正５角形のプラトン立体５種類だが、正３角形が４・８・20個からなる正４面体・正８面体・正20面体の３種類は重複している。

　　　　　　　　　　点数　線数　面数　　(※) 　 360のｎ倍
　　　デルタ４面体　 ４　　６　　４ 　　 720 　　２ (正４面体)
　　　デルタ６面体　 ５　　９　　６　　 1080 　　３
　　　デルタ８面体　 ６　　12　　８　　 1440 　　４ (正８面体)
　　　デルタ10面体　 ７　　15　　10　　 1800 　　５
　　　デルタ12面体　 ８　　18　　12 　　2160　 　６
　　　デルタ14面体　 ９　　21　　14 　　2520 　　７
　　　デルタ16面体　 10　　24　　16 　　2880 　　８
　　　疑デルタ18面体 11　　27　　18 　　3240　 　９
　　　デルタ20面体　 12　　30　　20 　　3600 　　10 (正20面体)
　　　正６面体 　 　 ８　　12　　６　 　2160　　 ６
　　　正12面体 　　　20　　30　　12　 　6480　　 18　　　(※)面の内角の総和

■２■上表で分かるようにデルタ多面体において、点数は１個ずつ増え、面数は２面ずつ増え、線数は３本ずつ増えている。また正３角形の内角の和は180度なので、デルタ多面体の内角の総和は上表右に示したように、またそれぞれ360度の整数倍になっている。正６面体は2160度、正12面体は正12面体である｡

■３■デルタ６面体･デルタ８面体･デルタ10面体は、それぞれ正３角錐･正４角錐･正５角錐を２つ貼り合わせた立体で、それぞれ双正３角錐･双正４角錐･双正５角錐という堅苦しい名前もある。またデルタ４面体･デルタ８面体･デルタ20面体は、それぞれプラトン立体の正４面体･正８面体･正20面体でもある。

■４■残る３つのデルタ多面体は普段はあまり見かけない。さらそれでも一応デルタ12面体には双４角錐反柱、デルタ14面体には３側錘３角柱、デルタ16面体には双４角反柱という古典的な学術名もある。なおデルタ18面体は一部凹になり全ての面が凸にはならないので、この凸多面体のグループには入らない。

■５■なおデルタ多面体を凸多面体に限らなければ、プラトン立体その他のダ・ヴィンチの星等も含まれる。デルタ12面体は面12枚、辺18本、点は線が４本集まる…が４つ、５本集まる点が４つの合計８個ある。正３角形６枚からなる２つ同じ形状部分を向かい合わせ、90度回転させてから接続した形でもある。

■６■デルタ14面体は面14枚、辺21本、点は線が４本集まる点が３つ、５本集まる点が６つの合計９個ある。正３角柱の３つの側面に正４角錐を張り付けた形状である。
　　　

■７■デルタ16面体は面16面、辺24本、点は線が４本集まる点が２つ、５本集まる点が８つの合計９個ある。正６面体の上下２面を45度捩り、正４角反柱にする。その上下２面それぞれに正４角錐をつけるとデルタ16面体になる。なおデルタ16面体の双対立体は点16、線24、面は５角形８つと２つの正方形からなるTruncated trapezohedronである。

　　2020.01.19 Sunday／2024.08.31 Saturday