024:ＢＢショートケーキver.２、追記

■１■重心を通る軸の周りを360度回転する時、元の図形と完全に５回一致するならば、その立体図形は５重回転対称性を有するという(※1)。綿棒多面体で正12面体と正20面体を作れば、綿棒の長さが同じなので外接球直径比はほぼ18：19(ザックリ約３：２)となり、そのままでは連結・接合しあわない(※2)。

■２■綿棒多面体の正12面体はその内部に５芒星12面体が接続でき、外側には斜方20-12面体が接続可能で、さらにその外側に斜方切頭20-12面体を接続することができる。なお多面体の堅苦し過ぎる名称を和らげるために、斜方20-12面体をコモノヌシ､斜方切頭20-12面体をオオモノヌシと呼称する(※3)。



■３■この正12面体からの多層連結と正20面体からの多層連結の２重の系列を、５芒星(黄金比φ)と20-12面体を介することで連結･接合が可能となる。なお５重対称性の綿棒多面体の中心に入る小星形12面体を｢星の種｣と呼んだように、この２系列の間を埋める接合部分を｢星の間｣と呼び習わしている。
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(※1)正12面体…対向する面心をつなぐ５重対称軸が６本（対向する頂点をつなぐ３重対称軸が10本、対向する線心をつなぐ２重対称軸が15本）ある。正20面体…対向する頂点をつなぐ５重対称軸が６本（対向する面心をつなぐ３重対称軸が10本、対向する線心をつなぐ二回対称軸が15本）ある。

(※2)正12面体と正20面体の外接球半径は、１辺を２とした時、√3(√5＋１)／2及び√{(5＋√5)／2}
2.802517077…：1.902113033…≒28：19、1.473372513：１＝１：0.678714982

(※3)菱形を｢りょうけい｣とか読めなかったが、前者は小菱形20-12面体(small rhombicosi-dodecahedron)､後者は大菱形20-12面体(great rhombicosidodecahedron)であり、2016年に奈良の大神神社で奉納講演をした時、多面体制作のチームASUKAが、綿棒でこの斜方切頭20-12面体をオオモノヌシというコードネームで制作したことにちなんでいる。

2020.01.08 Wednesday／2024.08.30 Friday