021:５重回転対称性の重要なところ

■１■正12面体の任意の１頂点と、重心からそこを介してマクロ方向に延びる３重回転対称軸を考えてみたい。綿棒多面体的には重なって見えないところもあるので、少しでも分かりやすく説明するために、コマ送りアニメーションのような図を用意した。３辺の頂点とそこから垂直に立つ１本の垂線の結節点。

■２■これを文字列だけで説明することはできないし、ネットを介しての説明でも、綿棒多面体の話と同様に、２次元画面のモニターの中で拡大したり回転したりしても、やはり限界があり伝わらない。現物を持って直接会い、目の前でただ｢ここ重要｣と指せれば良いのだが、いつでもそれが叶うとは限らない。
　

■３■重心とこの結節点を結ぶ回転対称軸を通して、正20面体から20-12面体を介して立ち上がるバッキーボールの系や、正12面体から連続する菱形30面体、さらには斜方20-12面体(愛称コモノヌシ)から最終的には斜方切頂20-12面体(同オオモノヌシ)までを、１つに貫いて見て行くための重要な連結点である。
　

■４■５芒星を１面とした正12面体、つまり５芒星12面体の各辺からそれぞれ垂直に５芒星を30個起ち上げても同様のことが言え、５芒星12面体の各面から５弁の花が咲いたような形になる。この５芒星の30個の頂点を結ぶと20-12面体になる。またこの５芒星の肩の部分だけを繋ぐと１辺１の正12面体になる。
　

■５■また驚くべきことに、この５芒星12面体・正12面体・20-12面体は全て
５芒星だけからできているとも見て取れる。だからこの３重構造を個人的には｢星の間｣という愛称で呼んでいる。この構造と正20面体・20-12面体・切頂20面体の３重構造のバッキーボールとは、ぴったり重ね合わせることができる。

■６■なお後に｢星の巣｣として見ることになるのだが、この正12面体にある20個の頂点と３辺＋垂線の関係は、正４面体の重心と４頂点を結ぶ線の関係と非常によく似ている。さらに正12面体の２辺を含む正５角形は、正４面体の重心と２点を繋げた２線を含む５角形(正５角形ではない)もまたよく似ている。

2019.12.26 Thursday／2024.08.29 Thursday