013 バッキーボールを腑分けする

(左)20面体の１頂点から逆向きに正５角錐を接続させ、20-12面体の正５角形部分(緑色)と重ねたところ。
(中)それを支える支柱にも見える５本の垂線は、他の５頂点からも立ち上がる５角錐の部分でもある。
(右)正20面体と20-12面体の５角形部分を真上から見る。正20面体の反面の正５角形が36度ずれている。

■１■<012>の概念図部分を実際に綿棒で作ってみよう。第１層の正20面体の５角錐部分頂点から立ち上げた逆向きの正５角錐は、第２層にある20-12面体の正５角形部分に接続し、さらにそこからデルタ10面体（正５角錐対）内接の正５角柱が立ち上がり、第３層のバッキーボールの正５角形部分まで連結している。

(■２■もちろんこの正20面体から伸びる５角柱は、バッキーボールよりさらに上の第４層、第５層…と繋げていっても、断面の大きさが変わらない正５角形のまま、どこまでも連ねて行くことが可能である。バッキーボールはこの12方向に延びる角柱部が12パーツと、20のパーツからなる角錐部からなっている。

)

(左)その正５角形面からさらに正５角錐対と５本の支柱でできた正５角柱。
(中)第３層のバッキーボール（切頭20面体）の正５角形部分（黄色い部分）と接続させた形。
(右)正20面体､20-12面体､バッキーボールの正５角形がぴっちり重なっているのを真上から見る。

■３■なお角錐部分は、正20面体の20ある正３角形から第２層の20-12面体にある逆向きの正３角形へと60度捩れて正８面体の形を残して接続し、第３層のバッキーボールの正６角形部分へと連結していく。第２層の正３角から立ち上がった正４面体は、正６角形の面心に接続してそこを６つの３角形で連結する。

(左)一方こちらは正20面体と、その正３角形の面心に繋がる第２層の20-12面体の正３角形部分（緑色）とを接続する正８面体と、その３角形から立ち上がり、第３層のバッキーボールの正６角形とその面心に接続する、１／２のベクトル平衡体の合体した形。
(中)３層を接続するとこのような形になる。正５角形部分がどこまで行っても同じ面積だったのに対し、こちらは第２層以降、体３層を超えても面積は指数的に増加して行く。なお正20面体の逆側にも36度回転した同じ形で、対の形で進展して行く。
(右)バッキーボールの正６角形面から中心側を垂直に見下ろしたところ。第１層と第２層の間は正８面体の形状だったが、第２層と第３層の間はベクトル平衡体の１／２の形であることが分かる。

■４■正５角形と正６角形の内部がどのように見えるかを示すために、それぞれ真上からの画像も入れておいた。中心の正20面体と12方向に延びる正５角柱12本は骨格を成すので「骨」と称し、残る正６角形部分に連なる20の部分を「肉」と表現してみよう。(あるいはベジタリアン風に「幹」と「葉」とでも。)

■５■魚を骨と身の３枚に下ろすように、綿棒多面体のバッキーボールも中心の正20面体とそこから12方向に延びる正５角柱12本を、この多面体の骨格を成すので「骨」と称し、残る表面の正６角形に連なる20の部分を「肉」と表現するならば、骨を全部抜いて肉だけでバッキーボールを作ることも可能である。

■もちろん逆に骨だけからでも、バッキーボールは作ることができる。

2019.12.04 Wednesday