012:綿棒バッキーボールを捌く

■１■さて第１層の正20面体の12の頂点から、正５角錐をさらに内側に連結したらどうなるだろう。これはもうそのまま正20面体の10本の稜線が構成する、正20面体の部分そのものと重なるのである。この正20面体をさらに内側に面点変換すれば５芒星正12面体となるが、１辺１単位ではここが最初なのである。

■２■正20面体は正５角錐２つと正反５角柱１つとして見ることもできる。正20面体は綿棒多面体バッキーボールの核なのだから、この正反５角柱を介して36度捩れ、反対側の正５角錐連結の第１層・第２層・第３層へと、同様にして６本ある回転対称軸の１つとして連結していると見て取ることも可能だろう。

■３■中心殻上に12数えられる、１辺１単位の正５角錐の<内−外>の連結は、大きさを変えずに正20面体⇔20-12面体⇔バッキーボール､そしてさらにその外側にまで続いていく｡では20-12面体の正３角形部分はどう連結しているのだろう。１層と２層の正３角形は60度ずれていて重ね見ると６芒星になっている。

■４■第２層の20-12面体の20ある正３角形部分は､それぞれ第１層の正20面体の20ある正３角形と対応し、重心からの３重回転対称軸で共に面心を貫かれてたまま、接続構造の中にできた正８面体の対の面となっている。そしてこの軸は、そのまま第３層バッキーボールの正６角形の中心へと繋がっているのだ。

■５■なお正５角形部分に正５角錐を立てると３倍体の正20面体になる。切頭20面体の名の由来が逆からも見て取れるというわけだ。ではこの部分は第４層以上ではどうなるのだろう？第４層ではバッキーボールの正６角形部分であった1/2ベクトル平衡体を内部に入れ子にした、辺長比が１:２の６角形になる。

■６■また第５層では辺長比が１：３の６角形になる。第ｎ層では辺長比が１：ｎ−２の32面体に展開して行く。外部に層を増やしていくほど、この多面体は頂点が正５角形の正12面体的構造に近づいていく。形としてはＢ・フラーが創出したフラードームのような球形構造からとんどん外れて行くことになる。

■７■実はＢ・フラーが創出したフラードーム系の建物は、正３角形に埋め尽くされた平面の６角形ではなく、より形状が球体に近くなるように、測地線に沿って３角形の辺の長さを変えて構成されている。しかし綿棒多面体では対数的に増加する本数問題もあり、綿棒で無限に展開するのはあまり意味がない。

2019.12.03 Tuesday